第一章 微专题1 利用数轴 维恩图解决集合问题（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题 在集合的运算中，特别是涉及到集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图化解集合问题，就可避免分类讨论，使解题显得直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率． 一、利用数轴解决集合的运算问题 例1　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)． 解　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B. 这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，∁UA＝{x|x<－2或3<x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3<x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<－2或2<x≤4}． 反思感悟　利用数轴表示数集是化解集合运算的常用手段，求解补集等问题时更要注意全集U及区间端点的取舍等问题． 二、利用数轴解决集合的逆运算问题 例2　设全集为I＝R，集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|－1≤x≤2}，则{x|1<x≤2}等于(　　) A．M∪N B．M∩N C．(∁IM)∪N D．(∁IM)∩N 答案　D 解析　如图所示，在数轴上标好集合M与集合N，这样结合已知条件逐一分析后可得到答案为D. 反思感悟　此题是一个集合的逆向运算问题，借助于数轴可对集合的本质属性了解得更加清楚，有助于问题的化解． 三、利用数轴解决求参数范围问题 例3　已知集合A＝(－3,4]，集合B＝[k＋1,2k－1]． (1)若A∪B＝A，求k的取值范围； (2)若A∩B＝A，求k的取值范围． 解　(1)∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2. ②当B≠∅时，则根据题意如图所示： 根据数轴可得 解得2≤k≤. 综合①②可得k的取值范围为. (2)∵A∩B＝A，∴A⊆B. 又A＝(－3,4]，B＝[k＋1,2k－1]， 可知B≠∅. 由数轴可知 解得k∈∅， 即当A∩B＝A时，k不存在． 反思感悟　利用数轴解决集合问题，关键要能够正确画出集合在数轴的范围表示，特别要注意区间端点是否包含． 四、利用维恩图解决集合中元素问题 例4　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩(∁UP)＝{3,5}，(∁UM)∩P＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}，求集合M，P. 解　根据题意，已知全集U＝{不大于20的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}， 由M∩(∁UP)＝{3,5}可知， 3∈M,5∈M且3∉P,5∉P； 由(∁UM)∩P＝{7,19}可知， 7∈P,19∈P且7∉M,19∉M； 又由(∁UM)∩(∁UP)＝{2,17}可知， 2∉M,17∉M,2∉P,17∉P. 这样依次可画出维恩图，结合图示对11,13分别进行分析， 可知11,13在两个集合的交集内． 因此集合M＝{3,5,11,13}，P＝{7,11,13,19}． 反思感悟　在集合的确定过程中，往往要用检验法进行验证，以得到正确答案．维恩图的优点在于，可使问题形象、直观，因此借助于维恩图化解有关集合问题是一个有效的手段与方法． $$