第一章 章末复习课（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

章末复习课 一、集合的概念及其基本关系 1．处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况． 2．以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用，提升逻辑推理素养． 例1　(1)(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m不可能为(　　) A．0 B．2 C．3 D．1 答案　ABD 解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意． (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________． 答案　(－∞，－2)∪ 解析　因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅. 画数轴如图所示， 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1. 即a<－2或a≥. 由已知a<1，所以a<－2或≤a<1， 即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1. 反思感悟　(1)在集合的小题中，很多时候是考查集合元素的互异性，所以很多时候求出字母的值之后一定要回带检验是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”． 跟踪训练1　(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________． 答案　3或1 解析　当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. (2)若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________. 答案　0或1 解析　当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A； 当B≠∅时，a≠0，B＝，又B⊆A，∴2≤≤3， 即≤a≤1，又a∈Z， ∴a＝1.综上知a的值为0或1. 二、集合的综合运算 1．集合的运算有交、并、补三种，它是集合中核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或维恩图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解． 2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反． 跟踪训练2　已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. (1)求A∩M； (2)若B∪(∁UM)＝R，求实数b的取值范围． 解　(1)因为A＝{x|－3<x≤6}， M＝{x|－4≤x<5}， 所以A∩M＝{x|－3<x<5}． (2)因为M＝{x|－4≤x<5}， 所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}， 又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R， 所以解得－2≤b<－1. 所以实数b的取值范围是[－2，－1)． 三、全称量词命题与存在量词命题的应用 1．已知含量词的命题真假求参数的取值范围，解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． 2．通过掌握全称量词命题与存在量词命题的应用，着重提升逻辑推理和数学运算素养． 例3　已知命题p：∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围． 解　设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B，则有 解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}． 反思感悟　牵涉到参数的全称量词命题一般是恒成立问题，必须对限定集合中每一个元素x验证成立，解题过程中可以借助于集