3.3.3 简单的线性规划问题 学案（无答案）-江苏省启东中学苏教版高中数学必修5

第 6课时：§3.3.3 简单的线性规划问题 研探新知 1. 基本概念 （教材 ）对于在约束条件 下，若 ，式中变量 、 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量 、 的约束条件 ， 叫做目标函数；又因为这里的 是关于变量 、 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域； 将目标函数 变形为 的形式，它表示一条直线，斜率为 ，且在 轴上的截距为 ． 平移直线 ，当它经过两直线 与 的交点 时，直线在 轴上的截距最大，如图（2）所示． 因此，当 时，目标函数取得最大值 ，即当甲、乙两种产品分别生产 和 时，可获得最大利润 万元． 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中 使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 说明：平移直线 时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）． 2.求解线性规划的可行解的步骤 指出线性约束条件和线性目标函数 画出可行域的图形 平移直线 ，在可行域内找到最优解 提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？ 3.初步尝试 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品 乙产品 件时，工厂获得的利润为 ,则 .这样，上述问题就转化为：当 、 满足不等式并且为非负整数时， 的最大值是多少？ ①变形——把 ，这是斜率为 ；当 变化时，可以得到一组互相平行的直线； 的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点 ，使直线经点 时截距 最大 ②平移——通过平移找到满足上述条件的直线 ③表述——找到给 （4，2）后，求出对应的截距及 的值 质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 设 ，式中变量 满足条件 ，求 的最大值和最小值． 变题：设 ，式中 满足条件 ，求 的最大值和最小值． 例2（1）已知 ，求 的取值范围；（2）设 ，且 ， ，求 的取值范围。 例3 已知 的三边长 满足 ， ，求 的取值范围。 例4. 设 满足约束条件组 ，求 的最大值和最小值。 例5. 已知 满足不等式组 ，求使 取最大值的整数 ． 例6. （教材 例2）某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低． 例7 （教材 例1）投资生产 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意： 资 金 （百万元） 场 地 （平方米） 利 润 （百万元） 产品 2 2 3 产品 3 1 2 限 制 14 9 然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解． 说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解． （2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点． $$