专题七 双曲线（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题七 双曲线 ★★★★必备知识★★★★ 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定． 设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略． ①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； ②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在； ③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. ★★★★常用结论★★★★ 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. 5．若P是双曲线 (a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. 6．等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1. ★★★★基础达标★★★★ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)方程 (mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (3)双曲线方程 (m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是，即.(　　) (4)若双曲线 (a＞0，b＞0)与 (a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、选填题 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 解析：选C　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为，故实轴长为4. 2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D．(，0) 解析：选C　∵原方程可化为， ∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点坐标为 3．若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ________. 解析：因为方程表示双曲线， 所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________. 解析：由已知可得a＝1，c＝， 所以e＝＝＝，解得m＝2. 答案：2 5．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________． 解析：由题意得2a＝| |＝4，所以a＝2，又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16， 所以双曲线的标准方程为. 答案： ★★★★典型例题★★★★ 1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　　 B. C. D. 解析：