3.2.1 双曲线及其标准方程（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一 双曲线定义的理解 1．已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 【答案】B 【分析】由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 2．设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于点，则和的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】分别过点和作准线的垂线，垂足为，由三角形相似可得，由双曲线的定义可得，即，最后由角平分线定理即可推得. 【详解】 如图，分别过点和作准线的垂线，垂足为， 则，故，则， 又因点为双曲线上的点，由双曲线的第三定义，可得， 即，故得， 由三角形角平分线定理的逆定理，可得是的角平分线，故. 故答案为：. 3．求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 【答案】(1)①或；②；③； (2)或. 【分析】（1）根据方程表示双曲线，以及由焦点位置得到参数满足的条件，从而得出答案. （2）分焦点位置进行讨论可得答案. 【详解】（1）①若方程表示双曲线，则须满足或， 解得或． ②若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得； ③若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得． （2）若焦点在轴上， 则方程可化为，     ，即． 若焦点在轴上， 则方程可化为， ，即． 综上，的值为或． 题型二 利用双曲线定义求方程 4．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 5．若将方程化简为的形式，则 【答案】 【分析】将方程两边取平方后整理成，再进行两边取平方，化简即得双曲线的轨迹方程，写出，计算即得答案. 【详解】由两边取平方， 可得， 整理得：， 两边再取平方，可得， 即，也即. 故，则. 故答案为：. 6．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 7．已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（    ） A．4 B．7 C． D．11 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义列式求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，即， 解得或（舍去）. 故选：D 8．设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 【答案】9 【分析】根据双曲线定义先求出的值，再根据三角形两边之和大于第三边验证，即可得解. 【详解】由双曲线方程可知，则，所以. 因为点P在双曲线C上，所以， 又，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以. 故答案为：9 9．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【答案】/0.6 【分析】通过双曲线定义结合角平分线定理，逐步推导比例关系得出结果. 【详解】由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 12．双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【详解】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 题型五 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 13．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为，又由双曲线的性质有，故的最小值为9. 故选：B. 14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义转化为可求解. 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    故答案为：. 15．设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切． （1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；最大值2. 【分析】（1）设出圆心坐标，根据相切关系建立等式，结合双曲线的定义可求轨迹方程； （2）求出直线的方程，联立双曲线方程求出交点坐标，结合几何性质可求结果. 【详解】（1）设圆C的圆心坐标为，，由题意， 或， 所以 所以圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上, 且实轴为4，焦距为的双曲线， ， 故的圆心轨迹的方程为. （2）过点的直线方程为，代入， 解得. 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则， 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为 . 【点睛】本题主要考查利用双曲线的定义求解轨迹方程及双曲线中的最值问题，侧重考查了数学运算的核心素养. 题型六 判断方程是否表示双曲线 16．已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【分析】应用已知条件建立空间直角坐标系，设点再根据得，再化简求解. 【详解】如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作交于点，连接， 由题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设点，则 由得， 化简得， 即点的轨迹是双曲线． 故选：D． 17．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 18．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可． 【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以或； （2）因为，即，焦点在轴上的双曲线， 则，解得， 所以； （3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 所以. 题型七 根据方程表示双曲线求参数的范围 19．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 20．若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】由焦点在轴上，得到，求解即可. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 21．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． (1)若命题q为真，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线方程的结构特征列不等式组求解可得； （2）分别记，为真时m的取值范围为集合，然后由和一真一假，利用集合运算求解即可. 【详解】（1）若双曲线的离心率，则，解得， 即命题q为真时实数m的取值范围为. （2）若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 记，则， 因为和一真一假， 则实数m的取值范围为. 题型八 根据双曲线方程求a、b、c 22．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 23．已知为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则 . 【答案】或8 【分析】分点在双曲线左支和右支讨论即可. 【详解】当点在双曲线左支时， 设，则，由勾股定理知， 由解得，于是.取中点， 由中位线性质可知，故，而， 故由余弦定理得，由知， 故.当点在双曲线右支时， 显然有，取中点中，由中位线性质可知， 故中，显然，故由余弦定理知， 由知，故. 故答案为：或8. 24．已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由条件可得点的坐标，代入直线的方程，即可得到结果； （2）分别表示出以及，然后在与中由正弦定理可得，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，再由可得，由斜率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题知， 因为轴，在第一象限，所以，将代入双曲线方程可得， 所以直线方程为，整理可得， （2）因为， ， ， 又直线，所以，则，， 所以，，所以， 在中，①， 在中，②， 又，联立①②可得， 因为， 所以，所以直线为的角平分线. （3） 设点，则，设直线方程为， 联立直线与双曲线方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 则，则， 所以， 由已知， 即，解得（舍）或， 代入双曲线，则， 由可得， 所以. 题型九 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 25．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程形式可知结果. 【详解】根据双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点在轴上. 故选：C 26．已知双曲线的上焦点为，以轴上一动点为圆心，半径为的圆与的上支交于、两点，则点到、两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得、，进而可得，利用两点间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值. 【详解】由题意可得，设、， 设圆心为，动圆方程为， 联立，得，则，， 因此， 故． 因为，所以， 同理可得，故， 又，且，， 故，，从而， 故 ， 故当时，取得最小值． 故答案为：． 27．已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线 【分析】(1)利用椭圆的定义求解出椭圆的方程即可.(2)结合双曲线的几何特征分为钝角(平角)或锐角(零角)的情况讨论得到点均落在双曲线上，从而得到结论. 【详解】（1）当时，点在圆内，由于点在线段的垂直平分线上，则，可得，由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，点的轨迹方程为．    （2）当时，点在圆外． 若为钝角或平角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的右支上． 若为锐角或零角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的左支上． 综上，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线．    题型十 根据a、b、c求双曲线的标准方程 28．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 29．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出即可. 【详解】过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且， 因为所求双曲线与双曲线的离心率相等； 所以，解得，所以， 所以双曲线方程为． 故答案为：. 30．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 题型十一 根据双曲线过的点求标准方程 31．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 32．直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出双曲线方程. 【详解】依题意，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故答案为： 33．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法结合分类讨论求解双曲线方程； （2）利用点差法结合中点坐标公式求解直线方程. 【详解】（1）对于双曲线，其渐近线方程为， 设双曲线的方程为，由题意可得， 消化简得，此方程无解； 设双曲线的方程为，由题意可得， 解得所以双曲线的方程为. （2）设，因为两点在双曲线上，， 两式相减得， 因为为的中点，所以，则， 因此直线的斜率． 直线的方程为，即． 经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 题型十二 求双曲线的轨迹方程 34．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 35．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意得到为等腰三角形，从而，进而得到的轨迹是一条双曲线，求出，，从而得到轨迹方程. 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 36．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程； （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一 双曲线定义的理解 1．已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 2．设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于点，则和的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 3．求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 题型二 利用双曲线定义求方程 4．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 5．若将方程化简为的形式，则 6．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 7．已知为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为（    ） A．4 B．7 C． D．11 8．设，是双曲线C：的左、右焦点，若点P在双曲线C上，且，则 . 9．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 12．双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 题型五 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 13．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 15．设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切． （1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标． 题型六 判断方程是否表示双曲线 16．已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 17．在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 18．已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 题型七 根据方程表示双曲线求参数的范围 19．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 21．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． (1)若命题q为真，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 题型八 根据双曲线方程求a、b、c 22．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 23．已知为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，其上一点满足，点满足，则 . 24．已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点. (1)已知轴，求直线方程； (2)求证：直线为的角平分线； (3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积. 题型九 双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 25．下列双曲线中，焦点在轴上的是（    ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的上焦点为，以轴上一动点为圆心，半径为的圆与的上支交于、两点，则点到、两点距离之和的最小值为 ． 27．已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 题型十 根据a、b、c求双曲线的标准方程 28．已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 29．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ． 30．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 题型十一 根据双曲线过的点求标准方程 31．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 32．直线l与双曲线C：交于，两点，则该双曲线的方程为 . 33．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 题型十二 求双曲线的轨迹方程 34．已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 35．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 36．在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $