专题五 椭圆的几何性质（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题五 椭圆的几何性质 ★★★★必备知识★★★★ 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 性质 范围 　 　x∈[－a，a]，　y∈[－b，b] 　x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆. ★★★★常用结论★★★★ 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1) (a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2) (a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆 (a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. ★★★★基础达标★★★★ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (4) (a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、选填题 1．椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为(　　) A．12　　　　　　　　　 B．16 C．20 D．24 解析：选C　△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a. ∵在椭圆中，a2＝25，即a＝5， ∴△F1AB的周长为4a＝20.故选C. 2．椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　不妨设椭圆C的方程为 (a＞b＞0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.∴a2＝9b2＝9(a2－c2)． 即，∴e＝.故选D. 3．椭圆C的一个焦点为F1(0,1)，并且经过点P，则椭圆C的标准方程为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　由题意可设椭圆C的标准方程为 (a＞b＞0)，且另一个焦点为F2(0，－1)， 所以2a＝|PF1|＋|PF2| ＝ . 所以a＝2，又c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3. 故椭圆C的标准方程为.故选D. 4．已知椭圆 (m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________. 解析：依题意有25－m2＝16，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3. 答案：3 5．若方程表示椭圆，则k的取值范围是______________． 解析：由已知得 解得3＜k＜5且k≠4. 答案：(3,4)∪(4,5) ★★★★典型例题★★★★ [典例精析] (1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C.