专题24 导数及其应用（解答题）（11月）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）》

专题24 导数及其应用（解答题） 1．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； 【试题来源】陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以. 2．已知函数经过点，． （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在点处的切线方程． 【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考（文） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）函数经过点，，解得，； （2），，， ，则切线方程为，即． 3．已知函数经过点，． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若的图象与直线相切，求值． 【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，，所以； （2）由（1），设切点为， ，所以， 又，两者结合可解得，． 4．已知函数及点，过点作直线与曲线相切 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点的切线的斜率． 【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）因为，所以， 所以切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即． （2）设切点为，则， 整理得，解得或， 所以切线的斜率为或，综上所述：切线的斜率为或. 5．已知函数，且． （1）求和的解析式； （2）令，求的单调区间． 【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】（1），；（2）的单调增区间为，单调递减区间为． 【解析】（1），整理得， ，由得，故； （2），此函数的定义域为， ， 因为，所以，故解得，，解得， 所以的单调增区间为，单调递减区间为． 6．已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为． （1）求，值； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题 【答案】（1），；（2）证明见详解 【解析】（1）在处切线方程为，而 所以，即，而，故切点为， 所以，即，故有，； （2）由（1）知且定义域， 所以，若 ， 令，即在有恒成立， 所以单调增，又，：即的零点在内， 所以上，上，故在中，上有， 当时，，即，单调增， 当时，，即，单调减， 当时，，即，单调增，所以存在唯一的极大值点=，又有， 而，且， 所以(利用均值不等式，但等号不成立，因为无法取1)， 综上，得证：. 7．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）证明：． 【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理） 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得，所以． ，． （2）设，则，由得；由得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 所以当时，，所以， 所以要使在上成立，只需使在上成立， 即在上成立， 设，则，由得，由得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，即在上成立， 所以原不等式成立． 8．已知函数． （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若有解，求实数a的取值范围． 【试题来源】广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测（理） 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）． 【解析】（1）由题可知的定义域为， 函数，，所以函数在区间上是增函数． 在区间上的最大值为，最小值为． （2），令， ．当时，．，显然有解． 当时，由得， 当时，，当时，， 故在处取得最大值． 若使有解，只需，解得． 结合，此时a的取值范围为． 综上所述，a的取值范围为． 9．已知函数在处有极值． （1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点？ （2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围． 【试题来源】湖南省、河北省新高考联考2020-2021学年高三上学期10月质量检测 【答案】（1），是的极大值点；（2）． 【解析】（1）由，得， 由题意，得，即，解得． 当时，，由，得， 结合，解得．当时，；当时，， 所以是的极大值点． （2）本题等价于对于一切恒成立． 记，则，． 由，得，所以， 即，所以． 从而在上是减函数，所以，故. 【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： （1）若恒成立，则；（2）若恒成立，则． 10．已知函数(其中)，为的导数． （1）求导数的最小值； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（文） 【答案】（1）1；（2）． 【解析】（1），令， 当时，则．故时，， 为增函数，故，即导数的最小值为1． （2）令，，