湖南师范大学附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试卷

湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期期中考试 数学 一、单项选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.抛物线 的焦点到准线的距离是（ ） A.2 B.1 C. D. 3.设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是 的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且 则 等于（ ） A.  B.  C.  D. 5.函数 的大致图象是（ ） 6.某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高壮况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线 .根据图中数据，下列对该样本描述错误的是（ ） A. 据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关 B. 所抽取数据中，5000名青少年平均身高约为145cm C. 直线 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量 D. 从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线 上 7.等比数列 为递减数列，若 ，则 （ ） A. B. C. D.6 8.已知函数 的最小正周期为 ，将其图象向右平移 个单位后得函数 的图象，则函数 的图象（ ） A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称 C. 关于点 对称 D. 关于点 对称 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9.若 ，则下列不等关系中成立的是（ ） A. B. C. D. 10.已知双曲线 上一点P到左焦点 的距离为10，则当 的中点N到坐标原点O的距离为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 14 11.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（   ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 12.已知 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.曲线 在点 处的切线方程为 . 14.如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB垂直，若AB= ，AC=1，BD=2，则CD的长为 . 15.已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值范围是 . 16.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB=1，AD= ，AC=2.则 ，∠BAD= . 四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知数列 的各项均为正数， 为前 项和，若 ， （1）证明数列 为等差数列，并求其通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和. 18.（本小题满分12分） 已知函数 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对边分别为 ，其中 ，若 求△ABC的面积. 19.（本小题满分12分） 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证： （1）BD1//平面EAC； （2）求直线AB1与平面EAC所成角的大小. 20.（本小题满分12分） 已知椭圆E： 的离心率为 ，且过点 . （1）求椭圆E的标准方程； （2）若不过点A 的动直线 与椭圆C交于P，Q两点，且 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标. 21.（本小题满分12分） 已知函数 . （1）设 ，讨论函数 的单调性； （2）若 ，证明： 在 上恒成立. 22.（本小题满分12分） 近年来．我国