第3章 §3.1 不等式的基本性质（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（苏教版）

第3章　不等式 §3.1　不等式的基本性质 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.了解等式的基本性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.如果a＝b且b＝c，那么 . 2.如果a＝b，那么a±c＝ . 知识点一　等式的基本性质 a＝c b±c 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒_______ c的符号 a>b，c<0⇒_______ 5 同向可加性 a>b，c>d⇒___________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒______ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N*) 同正 < > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > 思考1　若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 答案　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 思考2　若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 答案　不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. 1.若a>b，则a－c>b－c.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 3.a>b⇔a＋c>b＋c.(　　) √ × √ × 2 题型探究 PART TWO 一、利用不等式的性质判断命题的真假 √ 解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题. 方法二　特殊值排除法. 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错. 反思感悟 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质. (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确； ab>a2，D正确. √ √ 二、利用不等式的性质证明简单的不等式 证明　因为c<d<0，所以－c>－d>0， 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 反思感悟 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 证明　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，－a<－b， ∴0<c－a<c－b， 又a>b>0 三、作差法比较大小 例3　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 延伸探究 1.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小. 解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2). ∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2.对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*， 则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 反思感悟 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 跟踪训练3　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 3 随堂演练 PART THREE 1.设b<a，d<c，则下列不等式中一定