第3章 3.2.1 基本不等式的证明（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（苏教版）

第3章　§3.2　基本不等式 3.2.1　基本不等式的证明 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式. 3.会利用基本不等式求简单的函数的最值. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　基本不等式 ≤ a＝b ≤ ≤ 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ × √ × 2 题型探究 PART TWO 一、对基本不等式的理解 解析　对于A项，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，所以A项错； 对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误； √ √ 当且仅当a＝b时等号成立， 反思感悟 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”. 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解. ② 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件， ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件. 二、利用基本不等式证明不等式 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 因为a，b，c为正数， 三、直接利用基本不等式求最值 解　∵x>0， 解　∵x<1，∴1－x>0， 反思感悟 拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件. ∵x>1，∴x－1>0， 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 解析　A中x＝－1时，y＝－5<4； B中t＝－1时，y＝－3<4； √ D中t＝－1时，y＝－2<4. 1 2 3 4 5 2.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么 A.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 √ 所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立. 1 2 3 4 5 又∵b>a>0，∴ab>a2， √ 1 2 3 4 5 √ 1 2 3 4 5 ③ 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 4 课时对点练 PART FOUR 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错； √ 由基本不等式可知D项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0， ∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立). 3.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab| C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab| √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　∵x>－2，∴x＋2>0， √ 当且仅当x＝－1时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　因为a>2，所以a－2>0. 由b≠0得b2≠0， 所以4－b2<4，即n<4，所以m>n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 解析　因为a>0， 当且仅当a＝1时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 解析　由题意可知，x>－1，则x＋1>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明　因为a＋b＝1，a>0，b>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1