第3章 3.2.2 基本不等式的应用（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（苏教版）

3.2.2　基本不等式的应用 第3章　§3.2　基本不等式 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　用基本不等式求最值 (1)a，b是 . (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值 ； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值 . (3)讨论等号成立的条件是否满足. 正数 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN x>2y 解析　因为不等式成立的前提条件是各项均为正数， 所以x－2y>0，即x>2y. 2.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是_____. 3.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是_____. 50 解析　∴m2＋n2≥2mn， 2 题型探究 PART TWO 一、利用基本不等式求最值 解　因为x<0， 所以x＋2y的最小值为18. 解　因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy， 所以x＋2y的最小值为18. 反思感悟 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 所以x＋y的最小值为16. 例2　2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成.长征三号乙运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； 二、基本不等式的实际应用 解　由题意，得k＋9＝10，即k＝1， (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 解　由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克. 反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 跟踪训练2　某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 因此当矩形温室的两边长分别为40 m,20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2. 三、基本不等式的综合应用 √ 又∵xy>0，结合①可得，x>0，y>0. 若不等式x＋y－t≥0恒成立，则x＋y≥t恒成立，即t小于等于x＋y的最小值. ∴x＋y的最小值为4，故t≤4， ∴实数t的最大值为4，故选A. 反思感悟 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. 跟踪训练3　已知a>0，b>0，若不等式 恒成立，则m的最大值等于 A.10 B.9 C.8 D.7 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9； 所以m的最大值为9. √ 核心素养之数学建模 HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO 基本不等式在实际问题中的应用 典例　如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. (1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 素养提升 (1)数学建模是对现实问题