第3章 3.3.1 从函数观点看一元二次方程（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（苏教版）

第3章　§3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.正确理解二次函数零点的概念. 2.理解一元二次方程与二次函数的关系. 3.掌握图象法解一元二次方程. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　二次函数的零点 1.定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 ，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 2.关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 . 提醒　零点不是点，指的是一个实数. 根 横坐标 实数根 横坐标 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝ 无根 知识点二　一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 无零点 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.所有的二次函数都有零点.(　　) 2.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0).(　　) 3.二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.(　　) 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ>0时有两个零点.(　　) √ × √ × 2 题型探究 PART TWO 一、求二次函数的零点 例1　求下列函数的零点： (1)y＝3x2－x－4； (2)y＝－4x2＋4x－1. 反思感悟 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根. √ 二、由二次函数的零点求参数的值 例2　若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为_____. －4 ∴2a＋b＝－4. 延伸探究 函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2且满足x1＋x2＝x1x2， 则m的值为_____. 解析　根据题意，二次方程x2＋mx＋4m2－3＝0的两个实数根分别为x1，x2， 则有Δ＝m2－4(4m2－3)≥0， 若x1＋x2＝x1x2，则－m＝4m2－3， 反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系. 跟踪训练2　若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值； 解　由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84>0，所以方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根， ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42＝51，解得p＝－1或p＝5. 即p的值为－1或5. (2)若△ABC的面积为105，求p的值. ∴|α－β|＝10，∴(α＋β)2－4αβ＝100， ∴(2－p)2＋84＝100，解得p1＝－2，p2＝6. 即p的值为－2或6. 三、由二次函数的零点求参数的范围 √ 解析　设函数的两个零点分别为x1，x2， 函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2， 即方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2， 则x1－2>0，x2－2>0， 故选C. 反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解. 跟踪训练3　已知方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则实数a的取值范围是 A.(0,1] B.(－∞，1) C.(－∞，1] D.(－∞，0)∪(0,1] √ 解析　当a>0时，由Δ＝4－4a≥0得0<a≤1， 所以方程有两负数根，所以符合题意； 所以方程有一正数根和一负数根，符合题意. 所以a的取值范围是(－∞，1].故选C. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 √ 1 2 3 4 5 2.若函数y＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是 A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1] D.[1，＋∞)