第2章 §2.2 第2课时 充要条件（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（苏教版）

第2章　§2.2　充分条件、必要条件、充要条件 第2课时　充要条件 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 1.一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2.如果p是q的充要条件，就记作 ，称为“p与q等价”，或“p等价于q”. 知识点　充要条件 p⇒q q⇒p p⇔q 思考　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1.“x>1”是“x＋2>3”的_____条件. 解析　当x>1时，x＋2>3； 当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件. 充要 2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的___________条件. 必要不充分 解析　设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0， 故p是q的必要不充分条件. 3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的___________条件. 充分不必要 4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_____条件. 充要 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件. 2 题型探究 PART TWO 例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). 一、充分、必要、充要条件的判断 ∴p是q的充分不必要条件. (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； 解　由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件. 解　∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件. (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； 解　0是自然数，但0不是正数，故p⇏q； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 故p是q的既不充分又不必要条件. 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1)p：x2>0，q：x>0； 解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件. (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件. (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； 解　p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故p是q的必要不充分条件. (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解　∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件. 例2　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 二、充要条件的证明 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2. ① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0， 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c). ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 反思感悟 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0