第8讲不等式的证明-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

不等式的证明 知识定位 不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在上海高考中，有关不等式证明的要求并不高，一般只要会基本的比较法与综合分析法即可。但是一些进阶技巧，例如缩放法、换元法、函数法等不仅是常用的技巧，而且同时也能给我很多关于不等式处理方面的启发。在不等式的基本性质一节，我们已经介绍了比较法与综合分析法，在本节，我们会主要介绍一些进阶技巧。 知识梳理 · 知识点一：常见的不等式证明技巧 这里有关比较法与综合分析法的部分将会略去，我们主要讲一下其他方法。 常见题型和方法解析 1. 缩放法 例1 （★☆☆☆）已知，求证： 解： ，同理可知： ， 从而. 教学提示：本题需要注意几件事情。第一点，本题是一个典型的轮换不等式，所以根据对称性，我们可以将两个根号分开单独考虑。（有关轮换不等式在之前的教学参考中已经提及）第二点，本题利用的缩放实际上是的形式，这当然是最简单也是最常用的一种缩放。第三点，缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是非常要紧的。像本题中，我们就是利用缩放将原来的根式中的根号去掉，从而变成简单的一次多项式，再进行计算与证明，这一点是要向学生强调的。 例2 （★★☆☆）求证 解：当时，有： 从而： 教学提示：我们利用了一个不等式的缩放，而缩放的最终目的在于将难以计算的式子转化为可以计算的项。另一方面，注意解答的过程中，我们没必要对于一个和式的所有项进行缩放，实际上只需要对于部分项缩放即可。 例3 （★★☆☆）求证 解：本题我们实际上是要对作 一个缩放， 注意到： ， 我们就可以得到： ， 以及： ， 从而即知： 教学提示：本题实际上是一个典型的放缩法的例子，从某种程度上来讲，其结论是比证明过程来得更加重要的。从根本上来讲，这也是将不能求和的转化为可以求和的形式，这其中运用了分母有理化等一些技巧。另外一方面，值得注意的是，实际上在本题中，我们将和式的每一项都进行了缩放。这样的缩放实际上有时候会放得过大或是过小，因此有时候我们可以保留和式的前几项，再对后面几项进行缩放，来得到不等式。例如，本题中，我们保留第一项，对第二项之后的部分进行缩放，可以得到： 我们实际上得到了一个比题目中更为精确的不等式估计。 试题演练 1．已知f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1| （1）求函数f(x)的最小值； （2）若f(x)的值域为M，当t∈M时，证明t2＋1≥＋3t. 【答案】（1）；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值三角不等式即可求解. （2）利用作差法即可证明. 【详解】 （1） ， 当且仅当时，取等号， . （2）由（1）可得， 原不等式等价于 ，，， ， t2＋1≥＋3t. 【点睛】 方法点睛：本题考查了分段函数的最值、证明不等式，常见方法有以下几种. （1）去绝对值，将函数化为分段函数，利用分段函数的图像可求最值. （2）利用绝对值三角不等式求最值. （3）证明不等式的方法：作差法、作商法. （4）构造函数，利用导函数证明不等式. 2．已知，函数. （1）若，，求不等式的解集； （2）求证：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）代入、的值，解此不等式即可得解； （2）利用分析法可得知：要证不等式成立，即证，利用绝对值三角不等式及两次基本不等式证明即可. 【详解】 （1）依题意，， 则或， 解得或，故不等式的解集为或. （2）依题意，， 因为， ，故， 故，当且仅当，时等号成立. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式证明不等式，考查了转化思想，属中档题. 3．（1）求函数的最大值. （2）若实数，，满足，证明：，并说明取等条件. 【答案】（1）；（2）证明见解析；当，时取等. 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值三角不等式可得的最大值； （2）利用已知条件结合不等式，可证明命题成立． 【详解】 （1），等号成立， 当且仅当或，所以. （2）， 当且仅当，时取等，所以存在实数，满足条件. 【点睛】 本题考查绝对值三角不等式的应用，考查重要不等式，属于中档题． $$不等式的证明 知识定位 不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在上海高考中，有关不等式证明的要求并不高，一般只要会基本的比较法与综合分析法即可。但是一些进阶技巧，例如缩放法、换元法、函数法等不仅是常用的技巧，而且同时也能给我很多关于不等式处理方面的启发。在不等式的基本性质一节，我们已经介绍了比较法与综合分析法，在本节，我们会主要介绍一些进阶技巧。 知识梳理 · 知识点一：常见的不等式证明技巧 这里有关比较法与综合分析法的部分将会略去，我们主要讲一下其他方法。 常见题型和方法解析 1. 缩放法 例1 （★☆☆☆）已知，