第8讲不等式的证明-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

不等式的证明 知识定位 不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在上海高考中，有关不等式证明的要求并不高，一般只要会基本的比较法与综合分析法即可。但是一些进阶技巧，例如缩放法、换元法、函数法等不仅是常用的技巧，而且同时也能给我很多关于不等式处理方面的启发。在不等式的基本性质一节，我们已经介绍了比较法与综合分析法，在本节，我们会主要介绍一些进阶技巧。 知识诊断 1. （★★★★）求证 2. （★★★☆） 答案： 1. 本题我们实际上是要对作一个缩放， 注意到： ， 我们就可以得到： ， 以及： ， 从而即知： 2. 采用代数换元： 令 ，那么： ，原式转化为证明 ， 也即：，最后一个不等式显然成立。 知识梳理 · 知识点一：常见的不等式证明技巧 这里有关比较法与综合分析法的部分将会略去，我们主要讲一下其他方法。 · 子知识点一：缩放法 缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是处理不等式问题的一种常用技巧。 放缩时主要采用两种手法： 1. 舍去或者加上一些项，如； 2. 将分子或者分母放大或者缩小，如 . · 子知识点二：换元法 换元法在高中数学中是一个非常重要的技巧，在不等式证明时也有着很重要的应用。常见的换元方法有代数换元跟三角换元。这里由于学生没有学过三角，我们主要讲代数换元。 · 子知识点三：函数法 不等式跟函数的性质往往有着天然的联系。函数法就是利用这种联系来证明不等式的一种技巧。 常见题型和方法解析 1. 缩放法 例1 （★☆☆☆）已知，求证： 解： ，同理可知： ， 从而. 教学提示：本题需要注意几件事情。第一点，本题是一个典型的轮换不等式，所以根据对称性，我们可以将两个根号分开单独考虑。（有关轮换不等式在之前的教学参考中已经提及）第二点，本题利用的缩放实际上是的形式，这当然是最简单也是最常用的一种缩放。第三点，缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是非常要紧的。像本题中，我们就是利用缩放将原来的根式中的根号去掉，从而变成简单的一次多项式，再进行计算与证明，这一点是要向学生强调的。 例2 （★★☆☆）求证 解：当时，有： 从而： 教学提示：我们利用了一个不等式的缩放，而缩放的最终目的在于将难以计算的式子转化为可以计算的项。另一方面，注意解答的过程中，我们没必要对于一个和式的所有项进行缩放，实际上只需要对于部分项缩放即可。 例3 （★★☆☆）求证 解：本题我们实际上是要对作 一个缩放， 注意到： ， 我们就可以得到： ， 以及： ， 从而即知： 教学提示：本题实际上是一个典型的放缩法的例子，从某种程度上来讲，其结论是比证明过程来得更加重要的。从根本上来讲，这也是将不能求和的转化为可以求和的形式，这其中运用了分母有理化等一些技巧。另外一方面，值得注意的是，实际上在本题中，我们将和式的每一项都进行了缩放。这样的缩放实际上有时候会放得过大或是过小，因此有时候我们可以保留和式的前几项，再对后面几项进行缩放，来得到不等式。例如，本题中，我们保留第一项，对第二项之后的部分进行缩放，可以得到： 我们实际上得到了一个比题目中更为精确的不等式估计。 2. 换元法 例4 （★★★☆）已知 ，求证 解：采用代数换元： 令 ，那么： ，原式转化为证明 ， 也即：，最后一个不等式显然成立。 教学提示：换元法的关键在于找到合适的可以换的“元”，寻找元的方法往往是不固定的，需要通过题目来感悟。 例5 （★★★☆）已知，，求证 解： ， ， 从而：，令 ，得到： ，从而： 3. 函数法 例6（★★★★）已知 都是正数，求证对于任意的，下面的不等式成立： 解：构造二次函数：， 易知： 显然改二次函数开口向上，故知: ，即得： 试题演练 1．（★★★☆） ，证明： 【答案】见解析 【解析】 所以： 2．（★★★☆）已知 ，求证： 【答案】见解析 【解析】 3．（★★★☆）设，且 恒成立，则 的取值范围是___________． 【答案】(-∞，4] 4．（★★★☆）(1)设，证明； 【答案】见解析 【解析】 5．（★★★☆）已知 均为正数，证明: ，并确定为何值时，等号成立． 【答案】见解析 【解析】 6．（★★★☆）已知是不等正数，且 ，求证： 【答案】见解析 【解析】 7．（★★★☆）已知，求证． 【答案】见解析 【解析】 8．（★★★☆）已知 ，，求证： 【答案】见解析 【解析】 9．（★★★☆）设，求证：． 【答案】见解析 【解析】 10．（★★★☆）在△ABC中，已知△ABC的面积为 ，外接圆半径为1，三边长为 求证． 【答案】见解析 【解析】 11.（★★★☆）已知△ABC的三边长分别是，且 为正