第四章 §2.2.2 换底公式（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

2．2　换底公式 学习目标　1.会用换底公式进行对数运算.2.能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用． 知识点　换底公式 一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝. 思考　下列三个等式是否成立？ 其中a>0且a≠1，b>0； ②logab＝，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1； 其中a>0且a≠1，b>0. 答案　均成立． 1.＝________. 答案　2 解析　原式＝＝＝2. 2．log23×log32＝________. 答案　1 3．log82＝________. 答案　 解析　log82＝＝. 4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为________． 答案　 解析　log32＝＝. 一、利用换底公式化简求值 例1　求下列各式的值： (1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． 解　(1)log1627·log8132＝×＝× ＝×＝. (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23＝××＝. (学生)反思感悟　利用换底公式化简与求值的思路 跟踪训练1　计算： (1)log29·log34； (2). 解　(1)由换底公式可得， log29·log34＝·＝·＝4. (2)原式＝× ＝×＝－. 二、用已知对数表示其他对数 例2　已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log3645. 解　由18b＝5，得log185＝b. 又log189＝a， 则log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 反思感悟　用已知对数表示其他对数的思路 (1)统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键； (2)分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值． 跟踪训练2　(1)已知log142＝a，试用a表示 (2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245. 解　(1)方法一　因为log142＝a， 所以log214＝. 所以1＋log27＝. 所以log27＝－1. ＝2＝. 方法二　由对数换底公式， (2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29 ＝log25＋2log23， 而log52＝b，则log25＝， 所以log245＝2a＋＝. 三、利用对数式与指数式的互化解题 例3　已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py. (1)求p的值； (2)证明：－＝. (1)解　设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py得，2log3k＝plog4k＝p·， 因为log3k≠0， 所以p＝2log34＝4log32. (2)证明　因为－＝－ ＝logk6－logk3＝logk2 ＝logk4＝＝.所以原式得证． 延伸探究 若本例条件换为：设3a＝4b＝36，求＋的值． 解　方法一　由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1. 方法二　由3a＝4b＝36， 两边取以6为底数的对数，得 alog63＝blog64＝log636＝2， ∴＝log63， ＝log64＝log62， ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1. 反思感悟　指数式的连等式求值方法 第一步：可令连等式等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示； 第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数； 第二步：运用对数的运算性质化简求值． 跟踪训练3　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________. 答案　 解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M， 故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2， ∴M＝. 1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　log36＝＝＝. 2．计算log92·log43等于(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　D 解析　log92·log43＝·＝·＝. 3．已知2m＝5n＝10，则＋＝________. 答案　1 解析　因为m＝log210，n＝log510， 所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1. 4．logab·log3a＝4，则b＝______. 答案　81 解析　原式＝·＝log3b＝4，∴b＝34＝81. 5．已知log1627＝a，则log916＝________. 答案　 解析　∵log1627＝a， ∴log23＝a，∴log23＝a， ＝2×＝. 1．知识清单： (1