第一章 §1.1.2 集合的基本关系（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

1.2　集合的基本关系 学习目标　1.理解子集、真子集、集合相等的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法． 知识点　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 或 真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 A＝B 思考　符号“∈”与符号“⊆”表示的含义相同吗？ 答案　不相同，“∈”表示的是元素与集合之间的关系，“⊆”表示的是两个集合之间的关系． 2．子集的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)规定：空集是任何集合的子集． 思考　{0}与∅相等吗？ 答案　不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 1．若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(　√　) 2．任何一个集合都有子集．(　√　) 3．空集是任何集合的真子集．(　×　) 4．{0,1,2}⊆{2,0,1}．(　√　) 一、集合间关系的判断 例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③∅{0}；④{0,1}＝{(0,1)}；⑤0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，空集是任何集合的子集；对于③，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于④，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑤，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM. (学生) 反思感悟　集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 跟踪训练1　能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 答案　B 解析　x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}， 易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 二、子集、真子集的个数问题 例2　已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，列举集合A的子集并指出有多少个真子集． 解　依题意得4a－10＋6＝0，解得a＝1. 则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 所以A＝{2,3}． 所以集合A的子集有∅，{2}，{3}，{2,3}，共4个． 真子集有∅，{2}，{3}，共3个． 反思感悟　(1)求集合的子集时，为了做到不重不漏，对于含有n个元素的集合A，可以按元素个数由0到n，依次列出集合A的子集． (2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有 (2n－2)个． 跟踪训练2　已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 答案　D 解析　A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32. 三、集合间关系的应用 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围． 解　(1)当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. (2)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是(－∞，3]． 延伸探究 1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. (2)当B≠∅时，如图所示． ∴解得 即2≤m<3， 综上可得，m的取值范围是(－∞，3)． 2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围