第5讲一元二次不等式的解法-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

一元二次不等式的解法 知识定位 本讲义从以下两方面展开： 1. 一元二次不等式的基本解法 有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。 2. 利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题 一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。因此，这部分内容也是基础的内容。其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。 知识诊断 1. （★★☆☆）已知不等式恒成立，求实数的取值范围。 答案： 分类讨论： 当时，，，显然时符合条件 当时，则： 综上故知： 知识梳理 · 知识点一：一元二次不等式的基本解法 根据一元二次函数的图像可以得到相应的一元二次不等式的求解方法。 一般地，对于一元二次不等式， 如果对应的一元二次方程有根 那么，当，， 当， 如果对应的一元二次方程没有实根， 那么，当，， 当， 综上，可以参见以下表格： 对于一元二次不等式，其解集有如下形式： 这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。 · 知识点二：利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题 · 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。具体可以参见知识点一中的表格。 · 子知识点二：一元二次方不等式的恒成立问题。 一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点； 类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。 不过需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。我们需要先对二次项系数进行讨论。这一点是非常重要的，往往学生会想当然地认为是一元二次不等式，而导致漏解。 常见题型和方法解析 1. 一元二次不等式的基本解法 例1 （★☆☆☆）解不等式： 解：原不等式可以变形为 解方程，得： 故知原不等式的解集为： 教学提示：解一元二次不等式的过程实际上是求相对应的一元二次方程的根（如果方程有根的话）的过程。另外，还要注意的是二次项系数的符号，一般我们会把二次项系数变为正的。 例2 （★★☆☆）解关于的不等式： （1） （2） 解： （1） 进行因式分解，原不等式即为： 对进行分类讨论： 1 ， 2 ， 3 ，，不等式无解。 （2） 进行因式分解，原不等式即为： 对进行分类讨论： 1 ， 2 ， 3 ，，不等式无解。 教学提示：本题两小题都是求解含参数的一元二次不等式问题。解答这样的题目一般都是要对参数进行分类讨论，而难点在于我们以何“标准”进行分类讨论。在这种含参数的一元二次不等式问题中，我们一般要先将方程化为： 或者的形式， 然后当不等号左边的二次函数有实的零点时（如果没有零点则需另外讨论，具体可见例3），对该二次函数进行因式分解（或者利用求根公式求根），将方程化为：或者的形式，此时再跟根据方程的根的情况确定参数的讨论“标准”（本质上也就是讨论与的大小）。 例3 （★★☆☆）解关于的不等式： 解： 对进行分类讨论： 1 ，即或者时，方程两根为，此时不等式解为： 2 ，即或者时，方程根为，此时不等式解为： 3 ，即时，方程无实根，此时不等式解为： 教学提示：本题也是含参数的一元二次不等式求解。与例2不同的是，本题的一元二次不等式对应的一元二次方程的实根是否存在是不确定的，需要进行讨论。剩下的步骤实际上跟例2是一样的，还是要先求根再来看不等式的解。通过例2跟例3需要让学生明白对于含参数的一元二次不等式是如何进行讨论的，先后顺序是什么。 试题演练 1．1．（★☆☆☆）不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】换元：，得到，即得答案。 2．（★★☆☆）若关于的方程的两根均为正数，则实数的取值范围是 （ ） A．　　　 B．　 C．　 D． 【答案】B 【解析】有： ，解不等式组即得。 3．（★★☆☆）若关于的不等式的解集是，则等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】有： ，解方程组即得。 4．（★★☆☆）若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为： （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，不等式即为，显然成立。 当时，不等式为一元二次不等式，有： ，解不等式组即得。 5．（★★☆☆）对实数和 定义运算“ ”：,设函数．