第一章 微专题2 不等式恒成立、能成立问题（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

微专题1　基本不等式的应用技巧 第一章　预备知识 在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明. 一、配凑法求最值 5 解析　∵x>a， ∴x－a>0， 当且仅当x＝a＋1时，等号成立， ∴2＋a≥7，即a≥5. 1 反思感悟 将代数式加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解. 二、常值代换法求最值 √ 解析　由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 36 解析　∵正数x，y，z满足x＋y＋z＝1， 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的. 三、消元法求最值 例5　若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为___. 9 解析　∵ab＝a＋b＋3，∴(a－1)·b＝a＋3. ∴ab的最小值为9. 8 反思感悟 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解. 四、平方法求最值 五、换元法求最值 解　设销售价格为每件x元(50<x≤80)，每天获得的利润为y元， 令x－50＝t，则x＝50＋t， 当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500. 答　销售价格每件应定为60元. 六、建立求解目标不等式求最值 例9　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，求3a＋4b的最小值. 解　a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9， 即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9， 即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18， 可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1) 当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号， 反思感悟 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值. 本课结束 例1　已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为___. ∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a， 例2　已知x<，则4x－2＋的最大值为___. 解析　因为x<，所以4x－5<0，则5－4x>0， 故当x＝1时，4x－2＋取最大值1. 所以4x－2＋＝4x－5＋＋3， 因为5－4x＋≥2＝2， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立， 所以4x－5＋≤－2，所以4x－5＋＋3≤－2＋3＝1， 例3　已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为  A. B. C.2 D.3 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)] ＝≥(5＋4)＝， 当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，故选B. 例4　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为____. ∴＋＋＝(x＋y＋z) ＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋ ≥14＋2＋2＋2＝36， 当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号，故所求最小值为36. ∵a>0，b>0，∴a－1>0，即a>1，∴b＝， ∴ab＝a·＝＝＝(a－1)＋＋5. ∵a>1，∴a－1＋≥2＝4， 当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3，∴ab≥9. 例6　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为___. 解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3， ∴x＝，∴0<<，解得y>3. 则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8， 当且仅当y＝4，x＝时取等号. 故x的最大值为. 例7　若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值. 解　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2 ≤3·2＝3×2. 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立. 例8　某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50<x≤80时，每天售出的件数为P＝，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？ 则y＝(x－50)·P＝. ∴y＝＝＝≤＝2 500. ≥2＝6， 即3a＋4b的最小值为6－1. $$