第一章 §4 4.3 一元二次不等式的应用（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等 式的现实意义. 2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.3.了解与一元二次不等式 有关的恒成立问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.选取合适的字母表示题中的未知数. 2.由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组). 3.求解所列出的不等式(组). 4.结合题目的实际意义确定答案. 1.若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是 A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2} C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2<m<2} 解析　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R， ∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN √ 2.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10 (0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈ N)，使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围是__________________. 解析　日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}. {t|10≤t≤15，t∈N} 3.一元二次不等式ax2－2x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是___________. (－∞，－1) 4.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是_____ 台. 150 解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去). 2 题型探究 PART TWO 一、在实数集R上恒成立问题 例1　若对于一切实数x，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围. 解　要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0，满足题意； 所以－4<m≤0. 反思感悟 一元二次不等式在R上恒成立问题 跟踪训练1　已知不等式mx2－2x＋m－2<0.若对于任意的实数x不等式恒成立，求m的取值范围. 解　当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立； 二、在给定区间上的恒成立问题 例2　若对于x∈[1,3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，求m的取值范围. 解　方法一　要使mx2－mx－1<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 当m>0时，函数值y在[1,3]上随x的增大而增大， 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，函数值y在[1,3]上随x的增大而减小， ∴ymax＝m－6<0，得m<6，∴m<0. 方法二　当x∈[1,3]时，mx2－mx－1<－m＋5恒成立， 即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立. 反思感悟 有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式. (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解. 跟踪训练2　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解　当x∈(0，＋∞)时，不等式x2－ax＋1≥0恒成立， ∴实数a的取值范围是(－∞，2]. 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元 (又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； 三、一元二次不等式的实际应用 解　降税后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元. (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. 解　原计划税收为200a×10%＝20a(万元). 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}. 反思感悟 解不等式应用题的步骤 跟踪训练3　北京、张家口202