第一章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.2　一元二次不等式及其解法 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等 式的现实意义. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 联系. 3.掌握解一元二次不等式的方法. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　一元二次不等式的概念 思考　一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫作一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 未知数 2 答案　不能，必须保证a≠0. 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       知识点二　一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ R 不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ∅ ___ {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ 1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有______.(填序号) 解析　一定是一元二次不等式的为②④. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN ②④ 2.不等式x(2－x)>0的解集为__________. 解析　原不等式可化为x(x－2)<0，∴0<x<2. {x|0<x<2} 3.不等式4x2－9<0的解集是______________. 4.已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是_____________. (－∞，－1) 2 题型探究 PART TWO 一、不含参数的一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式. (1)3x2－5x－2<0； 解　Δ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0， 因此方程3x2－5x－2＝0有两个不相等的实数根， 作出函数y＝3x2－5x－2的图象，如图1， (2)－3x2＋6x≤2； 解　原不等式可化为3x2－6x＋2≥0. 方程3x2－6x＋2＝0中，Δ＝12>0， 所以方程3x2－6x＋2＝0有两个不相等的实数根， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图2， (3)4x2－12x＋9>0； 解　方程4x2－12x＋9＝0中，因为Δ＝0， 所以方程4x2－12x＋9＝0有两个相等的实数根， 作出函数y＝4x2－12x＋9的图象，如图3， (4)－x2＋6x－10>0. 解　原不等式可化为x2－6x＋10<0， 在方程x2－6x＋10＝0中， 因为Δ<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根， 所以原不等式的解集为∅. 反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的步骤： (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零. (2)计算相应的判别式. (3)当Δ>0时，求出相应的一元二次方程的两根. (4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集. 跟踪训练1　解下列不等式： (1)－x2＋5x－6>0； 解　不等式可化为x2－5x＋6<0. 因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0， 所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3. 由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)， 得原不等式的解集为{x|2<x<3}. (2)x2－4x＋5>0. 解　方程x2－4x＋5＝0无实数解， 函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线， 与x轴无交点(如图②). 观察图象可得，不等式的解集为R. 例2　解不等式：(1)12x2－ax>a2； 解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0， 二、含参数的一元二次不等式的解法 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； (2)－x2＋(2－m)x＋2m≥0. 解　原不等式可化为x2＋(m－2)x－2m≤0， 即(x＋m)(x－2)≤0， 令(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2. 当－m>2，即m<－2时，不等式的解集为[2，－m]； 当－m＝2，即m＝－2时，不等式的解集为{2}； 当－m<2，即