第一章 §3 3.2 第2课时 基本不等式的应用（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第一章　3.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　用基本不等式求最值 当x，y均为 时. (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当 时，xy取得最大值 . (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当 时，x＋y取得最小值 . 正数 x＝y x＝y 解析　∵ab＝1， 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN √ 当且仅当a＝b＝1时，等号成立. √ 6 2 题型探究 PART TWO 一、利用基本不等式的变形求最值 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 延伸探究　若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值. ∴x＋y的最小值是18. 方法二　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∴x＋y的最小值是18. 反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件.当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换. 9 解析　∵x＋y＝1， 二、利用基本不等式解决实际问题 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解　设该批产品的利润为y， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 答　当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元. 反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立. 跟踪训练2　2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； 解　由题意，得k＋9＝10，即k＝1， (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 解　由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克. 三、利用基本不等式解决恒成立问题 解　由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，a－c>0， ∴m≤4，即m的取值范围为(－∞，4]. 反思感悟 (1)恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式. (2)运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意根据各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题. 16 核心素养之数学建模 HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO 基本不等式在实际问题中的应用 典例　围建一个面积为360 m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙 需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对 面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元. 素养提升 (1)数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本例中所涉及的y＝x＋ (a>0)就是一个应用广泛的函数模型. (2)通过基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. 3 随堂演练 PART THREE 1.已知0<x<