第三章 §3 第2课时 指数函数的性质及应用（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（北师大版）

第三章　§3　指数函数 第2课时　指数函数的性质及应用 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.掌握指数函数的性质. 2.学会用指数函数的性质解决求函数的定义域、值域、比较大小等问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE   a>1 0<a<1 图象     指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表. 知识点　指数函数的图象和性质 性质 (1)定义域：___ (2)值域：__________ (3)过定点： ，即x＝0时，y＝1 (4)当x<0时， ； 当x>0时，_____ (5)当x<0时， ； 当x>0时，_______ (6)在R上是 函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于 无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于___ (7)在R上是 函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于 ； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于 无穷大 R (0，＋∞) (0,1) 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 增 正 0 减 0 正 性质 函数y＝ax和y＝ (a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 减 R 3.函数f(x)＝2x＋3的值域为__________. (3，＋∞) 4.函数y＝ax－1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点_____. (1,0) 解析　由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)， 因而在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0， 即函数y＝ax－1－1的图象恒过点(1,0). 2 题型探究 PART TWO 例1　求下列函数的定义域和值域： 一、指数型函数的定义域、值域 解　x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 的值域为(0,1)∪(1，＋∞). 解　定义域为R. ∴此函数的值域为[1，＋∞). 反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性. 跟踪训练1　求下列函数的定义域和值域： 解　 ∴x2－2x≥0，∴x≤0或x≥2， ∴定义域为{x|x≤0或x≥2}， ∴值域为[1，＋∞). 解　 ∴x－1≠0，∴x≠1， ∴定义域为{x|x≠1}， 即y>0且y≠2，∴值域为(0,2)∪(2，＋∞). 二、指数函数的单调性及应用 解　∵1.7>1， y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数. 又－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3. 例2　(1)比较下列各题中两个值的大小. ①1.7－2.5,1.7－3； 解　方法一　∵1.70.3>0,1.50.3>0， ②1.70.3,1.50.3； ∴1.70.3>1.50.3. 方法二　幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3. 解　∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1， ∴1.70.3>0.83.1. ③1.70.3,0.83.1. 解　①当0<a<1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. ②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥－6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}. (2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1). 反思感悟 (1)比较幂值大小的3种类型及处理方法 (2)解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响. 跟踪训练2　比较下列各值的大小： 解　先根据幂的特征，将这3个数分类： (1)大于1的数： (2)大于0且小于1的数： (1)中， 三、指数函数性质的综合应用 (1)判断并证明函数f(x)的单调性； 解　判断：函数f(x)在R上单调递增. 证明如下： 设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝m－ ∵x1<x2， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. (2)若f(x)是奇函数，求m的值； 解　∵f(x)是