专题20 线性规划 备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题20 线性规划 经典题型集锦 一、单选题 1．如图，表示图中阴影部分所示平面区域(包括边界)的不等式组是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图中阴影部分所示平面区域在直线方程 上方，故 ， 同理可得 ， ， 故选A 2．在 的条件下，目标函数 的最大值为 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式组 所表示的可行域如下图所示： 联立 ，解得 ，可得点 ， 平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截距最大， 此时， 取最大值，即 ，可得 ， ， ，当且仅当 时，等号成立. 因此， 的最小值为 . 故选：D. 3．已知实数x，y满足 ，若 的取值范围是 ，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：画出可行域如图中阴影部分所示，令 ， 由图可知，当直线 经过点 时， 取最大值2， 经过点 时， 取最小值 ． 因为 ，所以 ，解得 ； 解法二：画出可行域如图中阴影部分所示，令 ， 再令 ，作出直线 ， 则 表示可行域内的点 到直线 的距离， 因为 的取值范围是 ，所以 的取值范围是 ． 易知 到直线 的距离为 ， 所以 到直线 的距离不大于 ， 且 点在直线 下方或在直线 ， 所以 ，且 ，所以 ，解得 ． 故选：D. 4．若实数x，y，对任意实数m，满足 ，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】实数 ， ，对任意实数 ，满足 的可行域如图： 可行域是扇形， 个圆，面积为： ． 故选： ． 5．已知变量 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 可看作为可行域内的动点到直线 的距离的 倍，如图所示， 点 到直线 的距离d最小，此时 ， 所以 的最小值为 . 故选：D. 6．在平面直角坐标系中，若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则a的值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示： 因为直线 过定点 ，所以要使表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则直线 必过 的中点 ，由 得 . 故选B． 7．已知点 在由不等式组 确定的平面区域内，则 的最大值是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 作出可行域，分析可得： 点 与点 确定的直线的斜率范围是： 从而可以求得 的取值范围是： 则 的最大值是 . 故选：D 8．已知点 满足不等式 ，点 是函数 的图像上任意一点，则两点P，Q之间距离的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】如图所示，点P在平面区域阴影内任一点P， ， 即 点Q在半圆 上， 如图，过点O作直线 的垂线，垂足为P，交半圆于Q，此时 取最小值， 求得 . 故选：A 9．设 、 满足约束条件 的可行域为 ，若存在正实数 ，使函数 的图象经过区域 中的点，则这时 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（1）由 ， ， 由 ， ． 由 ， ，可行域 为如图 ， ， 过区域 中的点， 而区域中 ， 又 ，函数 图象过点 ， ， ， 当 ， 时， ， ， 满足 过区域 中的点， 只须图象与射线 ， 有公共点． 只须 时， ， ， 所求 的取值范围是 ， ． 故选： ． 10．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）： 则 ， 的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点原点连线的斜率的取值范围． 由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小， 由 ，解得B（ ， ）， ∴BO的斜率k＝3，由 可得A（1，1）， OA的斜率k＝1，∴1≤ ≤3， 则 （k ）2 ∈ ． 故选D． 11．小王计划租用 ， 两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩， 与 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且 型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ） A．1000元 B．2000元 C．3000元 D．4000元 【答案】D 【解析】 设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元， 则 其中x，y满足不等式组 ， 作出可行域： 当直线 经过D点时，z最小，此时D（1,5） ∴租车所需的最少租金为 故选D 12．已知点 与点 在直线 的两侧，给出以下结论：① ；②当 时， 有最小值，无最大值；③ ；④当 且 时， 的取值范围