专题18 一元二次不等式 备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题18 一元二次不等式 经典题型集锦 一、单选题 1．若关于x的不等式 的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式可化为 ， 若 ，则不等式的解是 ，不等式的解集中不可能有 个正整数； 若 ，则不等式的解集为空集，不合乎题意； 若 ，则不等式的解为 ，所以该不等式的解集中的 个正整数分别是 、 、 、 ，所以， . 因此，实数 的取值范围是 . 故选：A. 2．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 等价于 ，解得 即不等式 的解集为 故选：A 3．若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】因为不等式 对一切 恒成立， 所以对一切 ， ，即 恒成立． 令 ． 易知 在 内为增函数． 所以当 时， ，所以 的最大值是 ．故选C． 4．已知不等式 的解集是 , ,则不等式 的解集是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式 的解集是 所以 的两个根分别为 因为 ,所以 ,所以 由韦达定理可知 , 由 ,可知 因为 ,所以可设 的解集为 .由于 ,所以 则 因为 , 所以 解方程组可得 所以不等式 的解集为 故选:A 5．若 有负值，则 的取值范围是（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 有负值，所以必须满足 的图象与 轴有两个不同的交点，其充要条件是： ，即 或 ，故选A. 6．已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，关于 的不等式 的解集为 . （1）当 ，即 ． 当 时，不等式 化为 ，合乎题意； 当 时，不等式 化为 ，即 ，其解集不为 ，不合乎题意； （2）当 ，即 时． 关于 的不等式 的解集为 . ，解得 ． 综上可得，实数 的取值范围是 ．故选C． 7．若两个正实数 ， 满足 ，并且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ． 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立， 所以由 恒成立，得 ， 即 ，解得 ． 所以实数 的取值范围是 ． 故选：D 8．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得 或 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 9．不等式 的解集为 ，则 的展开式中常数项为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知， 、 是二次方程 的两根，由韦达定理得 ， 所以 的展开式通项为 ， 令 ，得 ，因此，二项展开式中常数项为 . 故选：D. 10．已知函数 ，若对 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ ， 由题意得 在 上恒成立， ∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 而 在 上单调递增， ∴ ， ∴ ， ∴实数m的取值范围为 ． 故选B． 11．已知函数 ，集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，( 为 的两根)，因为 ，所以 且 ， ，于是 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或 ，令 ， ，即 ，所以 ，即 ，即 ，故选A. 12．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上， ， ， ， 为椭圆的顶点，F为右焦点，延长 与 交于点P，若 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴为 短半轴为 ，半焦距为 . 为 与 的夹角，而 ， ， 由 为锐角， 则 ， 即 ，又因为 ， 则 ， 不等式两边同时除以 可得 ， 解得 或 ， 又因为 ， 所以 ， 即该椭圆的离心率的取值范围为 ， 故选：B. 二、解答题 13．已知函数 （1）若 ，求函数 的零点； （2）若 在 恒成立，求 的取值范围； （3）设函数 ，解不等式 . 【答案】(1)1；(2) (3)见解析 【解析】（1）当 时， 令 得， ，∵ ，∴函数 的零点是1 （2） 在 恒成立，即 在 恒成立， 分离参数得： ， ∵ ，∴ 从而有： . （3） 令 ，得 ， ， 因为函数 的定义域为 ，所以 等价于 （1）当 ，即 时， 恒成立，原不等式的解集是 （2）当 ，即 时，原不等式的解集是 （3）当 ，即 时，原不等式的解集是 （4）当 ，即 时，原不等式的解集是 综上所述：当 时，原不等式的解集是