专题16 数列的综合应用 备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题16 数列的综合应用 经典题型集锦 一、单选题 1．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为 ×1000＋ ×1000×2＝ ×1000，2小时后，细胞总数约为 × ×1000＋ × ×1000×2＝ ×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为（ ）(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A．38小时 B．39小时 C．40小时 D．41小时 【答案】C 【解析】记第 个小时后细胞个数为 ，则 ， ， 是等比数列，∴ ， 由 ，得 ， ， ． 故选：C． 2．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， ，则 ，即 ，故选A. 3．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知 ， ， 三人分配奖金的衰分比为 ，若 分得奖金1000元，则 ， 所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( ) A． ，14580元 B． ，14580元 C． ，10800元 D． ，10800元 【答案】B 【解析】设“衰分比”为 ，甲获得的奖金为 ，则 . ，解得 ，故 . 故选： . 4．若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为“梦想数列”，且 ，则 （ ） A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【解析】依题意有 为等比数列，故 为公比为 的等比数列，所以 是公比为 的等比数列，由此 . 5．已知数列 EMBED Equation.DSMT4 则 是它的 A．第30项 B．第31项 C．第32项 D．第33项 【答案】C 【解析】根据所给数列的项，可以得到其通项 ，故 ，解得 ，故选C. 6．已知数列 的通项公式 ，前 项和为 ，则关于数列 的极限，下面判断正确的是（ ） A．数列 的极限不存在， 的极限存在； B．数列 的极限存在， 的极限不存在； C．数列 的极限均存在，但极限值不相等； D．数列 的极限均存在，且极限值相等. 【答案】D 【解析】因为 ，所以数列 的极限存在且极限值为0， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，所以数列 的极限存在且极限值为0. 故选：D. 7．已知数列 是等比数列， ，且前 项和 满足 ，那么 的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列 的公比为 ，由于 ，则 或 ， ，则 ，得 . ①若 ，则 ，即 ， ，解得 ； ②当 ，则 ，得 ， ，则 不成立. 综上所述， 的取值范围是 . 故选A. 8．已知数列 满足 ，若 ，则 （ ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】当 时， ，当 时， ， ， ，…， 猜想： ， 当 时， 成立， 假设当 时， 成立， 那么当 时， ， 所以当 时等式成立， 综上可知，当 时，等式成立. ， 数列 是公比为 ，首项为 的等比数列， ， ， 解得： . 故选：B 9．设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，将 ， ， ， 中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列 的前三项，则数列 的前10项的和 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列 的公差为 ， 因为 ，所以 , 解得 ， 则 ， 可得 ， ， ， ， 所以4，8，16为等比数列 的前三项， 所以 ，公比 ，则 ， 所以 ， ， ， 两式相减可得 ， 所以 ， 则数列 的前10项和 ， 故选：A. 10．已知数列 满足： ， （ ）.正项数列 满足：对于每个 ， ，且 ， ， 成等比数列，则 的前n项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 （ ）， 可得 ， 由 ，可得 ， 可得 ， 由 ， ， 成等比数列， 可得 ， 可得 ， 则 ， 所以 . 故选：C. 二、填空题 11．如图，互不相同的点 和 分别在角O的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等.设 .若 ， ，则数列 的通项公式是________. 【答案】 【解析】由于 所以 梯形 的面积为 的面积減去 的面积，