第3讲命题与条件-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

命题与条件 知识定位 命题与条件是高中数学中的重要基础部分，只有学好命题和条件，厘清其中的关系，才能搞清今后遭遇的难题中的逻辑关系，帮助我们更顺利地解题. 知识诊断 1. （★★☆☆）（1）是否存在实数 ，使得 是 的充分条件？ （2）是否存在实数 ，使得 是 的必要条件？ 解：记 = ， 则 (1)充分条件即 解得 (2)即 不存在 2. （★☆☆☆）写出命题“ ，则 或 或 ”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假 解：逆命题：若 或 或 ，则 真 否命题：若 ，则 且 且 真 逆否命题：若 且 且 ，则 真 知识梳理 · 知识点一：四种命题形式 命题：可以判断真假的陈述句，判断为真，称之为真命题，否则为假命题。一个命题可以写成 “若 ，则 ”的形式，其中 是命题的条件， 是命题的结论。 一般地，若命题 成立可以推出命题 也成立，那么就说由 ，即以 为条件， 为结论的 命题是真命题。若 且 ，称 和 等价，记为 推出关系满足传递性，即 则 记“若 ，则 ”这一命题为原命题，则引出以下三种命题： （1） 逆命题“若 ，则 ” （2）否命题“若 ，则 ” （3）逆否命题“若 ，则 ” （其中“ ”表示否定，也常用 表示 的否定） · 子知识点一：四个命题之间的关系： · 子知识点二：注意命题的否定与命题的否命题的区别： （1）命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。 （2）一个命题与它的否定是完全对立的，命题真则否定假，否定假则命题真，而对 于否命题，它的真假与原命题没有直接联系，需具体分析。 （3）全称命题在否定时要改为特称命题，特称命题否定式改为全称命题，“或”在 否定时要改为“且”，“且”在否定时要改为“或” 例如：若三角形的三个内角都是锐角，则它是锐角三角形 （真） 否定：若三角形的三个内角存在锐角，则它不是锐角三角形 （假） 否命题：若三角形的三个角不都是锐角，则它不是锐角三角形 （真） · 子知识点三：互为逆否关系的两个命题等价，即 原命题 逆否命题，等价的两个命题同真同假。 因此当我们证明某个命题有困难时，可以考虑去证明其逆否命题，或许就豁然开朗。 · 知识点二：充分条件与必要条件 · 子知识点一：对于 两个命题，若 ，那么 叫做 的充分条件， 叫做 的必要条件。 也就是说，为了使 成立，具备条件 就足够了。如果既有 又有 ， 即 ，此时称 是 的充分必要条件，简称充要条件。 · 子知识点二：如何证明条件 是结论 的充要条件： 分两步：（1）证明充分性：条件 （2）证明必要性：结论 · 子知识点三： 子集与推出关系：设 是非空集合， ， ，则 与 等价. 常见题型和方法解析 1. 结合知识点一和方法 例1：（★☆☆☆）判断下列语句是否为命题，若是命题，请判断是真命题还是假命题 （1） 是无理数 （2）2+1=11. （3）仔细读这个 （4）这个命题是假的 分析：命题是陈述句且能够客观地判断真假，因此 疑问句，祈使句，感叹句，悖论均不是命题。 解：（1）真命题 （2） 假命题 （3）（4）不是命题 例2：（★☆☆☆）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题: （1）内接于圆的四边形对角互补；（2） 则 都为0. 分析：先将命题改写成“若p则q”的形式，再进行命题的转化，否定时注意全称特称命题 解：（1）逆命题：若四边形对角互补，则它内接于某个圆 否命题：若四边形不内接于圆，则它的对角不互补 逆否命题：若四边形的对角不互补，则它不内接于某个圆 （2）逆命题：若 都为0，则 否命题：若 ，则 ， 不全为0 逆否命题：若 ， 不全为0，则 . 例3：（★☆☆☆）写出下列命题的否定，并判断真假： （1）不论 取什么实数， 必有实根； （2）存在一个实数 ，使得 . 分析：注意否定与否命题的差异，否定的真假与原命题相反 解：（1）存在一个实数 ，使 无实根。 真命题 （2）对于任意实数 ，都有 。 真命题 2. 结合知