考点13 函数与方程-备战2021年新高考数学一轮复习考点帮

考点13函数与方程 【命题解读】 函数与方程是高考的一个考点，求方程的根、函数的零点的个数问题以及零点存在性定理判断零点是否存在都是考试的出题方向.备考时应理解函数的零点，方程的根和函数图象与x轴的横坐标的等价性. 【命题预测】 预计2021年的高考函数与方程还是一个重要的考点，在此部分要注意第一函数零点个数以及所在区间的判断方法，第二由函数的零点求参数的取值范围. 【复习建议】 集合复习策略： 1.理解函数与方程的根和函数图象与x轴的横坐标的等价性； 2.掌握判断函数零点的个数方法； 3.掌握函数零点求参数的取值范围. 考向一　函数零点个数及零点所在区间 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.  2.等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.  3.函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.  1. 【2019重庆南开中学月考】函数f(x)=ln x+2x-6的零点一定位于区间 (　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【答案】B 【解析】由题可知,函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域上连续,又f(2)=ln 2+2×2-6=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0,故函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)上, 故选B. 2.【2019潍坊三模】 已知f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数,且f(x)=f(4-x),则函数f(x)的零点个数至少为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵f(x)是定义在[-10,10]上的奇函数, ∴f(0)=0,且其他零点关于原点对称, ∴零点个数为奇数,排除选项B,D, 又∵f(x)=f(4-x), ∴f(0)=f(4)=0,f(-4)=-f(4)=0, ∴f(-4)=f(4+4)=f(8)=0, f(-8)=-f(8)=0, ∴f(x)的零点有0,±4,±8,至少5个,故选C. 考向二　函数的零点求参数的取值范围 已知函数的零点求参数的值或取值范围方法：直接法、分离参数法、数形结合法. 1. 【2019山东省高三月考】函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】∵只有一个零点， ∴函数与函数有一个交点， 作函数函数与函数的图象如下， 结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点； 当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得. 综合得：或. 故选：ABC. 2. 【2019吉林普通中学调研】已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　.  【答案】[-3,-1)∪[3,+∞). 【解析】由题意得g(x)=即g(x)=函数y=x2+4x+3和函数y=3-x的图像如图所示,因为g(x)恰有2个不同的零点,即g(x)的图像与x轴恰有2个交点. 若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有两个零点,则令x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1,则当x>a时,g(x)=3-x没有零点,所以a≥3. 若当x≤a时,g(x)=x2+4x+3有一个零点,则当x>a时,g(x)=3-x必有一个零点,即-3≤a<-1. 综上,a∈[-3,-1)∪[3,+∞). 3. 【2019浙江省高三其他】偶函数满足，且当时，，则__________，则若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】， 【解析】偶函数满足， ， 即函数是周期为2的周期函数， 则， 若，则， 则， 即，， 由得， 要使函数有4个零点 等价为函数与有四个不同的交点， 作出两个函数的图象如图： 过定点，， 则满足， 即，得， 即实数的取值范围是， 故答案为， 题组一（真题在线） 1. 【2020年高考天津】已知函数若函恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 2. 【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 3. 【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则 A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 4. 【201