课时训练(16) 第2章 第8节 函数与方程（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

一、单选题 1．函数y＝4x－2x＋1的零点为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　解析：令4x－2x＋1＝0，整理得2x(2x－2)＝0，解得x＝1，所以函数y＝4x－2x＋1的零点为1. 2．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) B　解析：易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线，f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1). 3．若f(x)＝x＋2x＋a的零点所在的区间为(－2，1)，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，) B．(－3，) C．(－1，－) D．(0，) B　解析：因为f(x)＝x＋2x＋a在R上单调递增，且零点所在的区间为(－2，1)，所以只需f(－2)f(1)<0，即(a－2＋)(a＋1＋2)<0，解得－3<a<. 4．已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，[a，]，[a＋1，]，若f()＝0，则函数f(x)的零点为(　　) A． B． C． D． B　解析：因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·(b)<0，所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0.因为a＋1>a恒成立，所以解得所以f(x)的零点为＝. 5．(2025·南阳质检)已知函数f(x)＝81ln x－()x－3－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：因为函数y1＝81ln x，y2＝－()x－3－80在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线．因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故k＝2. 6．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) A　解析：作出f(x)的图象如图所示， 令g(x)＝0，∴f(x)＝2或f(x)＝－a，∵f(x)＝2有一解， ∴f(x)＝－a有两解．由图知1<－a<2，即－2<a<－1. 7．已知函数f(x)＝ 若F(x)＝f(x)－a的零点个数为2，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1] B．(0，1]∪(2，＋∞) C．(0，1) D．(2，＋∞) B　解析：F(x)的零点个数等价于y1＝a与y2＝f(x)图象的交点个数，作出y2＝f(x)的图象，如图所示．由图可知，当a∈(0，1]∪(2，＋∞)时，y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点． 8．若函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一零点，则实数a＝(　　) A．2 B． C．4 D．1 A　解析：由f(4－x)＝(4－x)2－4(4－x)＋a[e2(4－x)－4＋e4－2(4－x)]＝x2－4x＋a(e4－2x＋e2x－4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，要使函数f(x)＝x2－4x＋a(e2x－4＋e4－2x)有唯一的零点，则f(2)＝0，即4－8＋2a＝0，得a＝2. 二、多选题 9．函数f(x)＝2x2－4ln x－3，则(　　) A．f(x)在(，1)内有零点 B．f(x)在(0，)内有零点 C．f(x)在(1，)内有零点 D．f(x)在(e，e2)内有零点 AC　解析：作出函数y1＝2x2－3和y2＝4ln x的图象，如图所示， 由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f()＝＋4－3>0，f()＝2e－2－3>0，f(1)＝2－3<0，f(e)＝2e2－4－3>0，f(e2)＝2e4－8－3>0，所以f()f(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在(，1)内有零点，在(1，)内有零点． 10．已知函数f(x)＝－log2x，若0<a<b<1，且满足f(a)f(b)f(c)<0，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且只有一个零点 B．f(x)的零点在(1，2)内 C．f(x)的零点不可能在(a，b)内 D．f(x)的零点可能在(c，＋∞)内 ABC　解析：函数f(x)＝－log2x的定义域为(0，＋∞)，因为函数y1＝在(0，＋∞)上单调递减，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝1－log21＝1>0，f(2)＝－log22＝－<0，所以f(x)有且只有一个零点，且零点在区间(1，2)内，A正确，B正确；因为0<a<b<1，所以f(x)的零点不可能在(a，b)内，C正确；因为函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)>0，0<a<b<1，所以f(a)>f(b)>f(1)>0，又f(a)f(b)f(c)<0，所以f(c)<0，所以当x>c时，f(x)<0，所以f(x)的零点不可能在(c，＋∞)内，D错误． 11．已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<k<1 BCD　解析：已知函数f(x)＝作出其函数图象如图所示， 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1；当y＝1时，|log2x|＝1，有 x＝，2，所以<x3<1<x4<2；由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，由图可知0<k<1. 三、填空题 12．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程x ln x＝1的解，则x1x2＝________． 答案：1　解析：因为x1，x2分别是函数y1＝ex，函数y2＝ln x与函数y3＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A(x1，)，B(x2，)两点关于直线y＝x对称，则x1＝，因此x1x2＝1. 13．(2025·苏州质检)函数f(x)满足以下条件： ①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线； ②∀x∈R，f(x)＝f(－x)； ③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0； ④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式为____________________． 答案：f(x)＝x2－1(答案不唯一)　解析：因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一). 四、解答题 14．(2025·浙江名校协作体一模)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有两个零点x1，x2，且x1<x2，求x1＋e2x2的取值范围． 解：y＝f(x)－a的零点个数等价于y1＝f(x)与y2＝a的图象的交点个数，作y1＝f(x)和y2＝a的图象如图所示， 由图可知a>1，ln (1－x1)＝a，x2＋1＝a，可得x1＝1－ea，x2＝a－1，所以x1＋e2x2＝e2a－2－ea＋1，令ea＝t，由a>1，得t>e，则x1＋e2x2＝t2－t＋1，由二次函数的性质可知当t＝e2时，x1＋e2x2取得最小值1－e2，没有最大值，故x1＋e2x2∈[1－e2，＋∞). 15．若关于x的方程ex－1－e1－x＋4＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．k B　解析：令f(x)＝ex－1－e1－x＋4，因为e－x－ex＝－(ex－e－x)，所以y＝ex－e－x为奇函数，f(x)的图象由函数y＝ex－e－x的图象向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到，所以f(x)的图象关于点(1，4)对称．而y＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1，4)对称，所以方程的三个实根x1，x2，x3中必有一个为1，另外两个根的和为1×2＝2，所以x1＋x2＋x3＝3. 16．已知f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，则实数a的取值范围是____________． 答案：(－1，0)∪(0，＋∞)　解析：若a＝0，则方程f(f(x))＝0有无数个解，故a≠0.∵f(f(x))＝0，∴lg f(x)＝0或＝0(舍去)，∴f(x)＝1，∴lg x＝1或＝1，∴x＝10或a＝x－1.∵关于x的方程f(f(x))＝0仅有一解，∴a＝x－1在x≤0上无解，∴a>－1.综上所述，实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞). 17．已知函数f(x)＝－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0，4π]，求函数f(x)的所有零点之和． 解：因为函数f(x)＝－sin x－1＝－sin x，所以f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，所以f(x)的对称中心是(0，0)，令f(x)＝0，得＝sin x，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝，y2＝sin x的图象，如图所示， 由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，由对称性可知，所有零点之和为0. 18．函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)－a＋3＝0有6个不同的实数解，求实数a的取值范围． 解：由题设，f(x)图象如图所示， 令t＝f(x)，要使原方程有6个不同的实数解，则t2－at－a＋3＝0有两个不同实根t1，t2且t1<t2.若t1＝0，则－a＋3＝0，则a＝3，此时t2－3t＝0，t2＝3，显然此时不合题意，故由图知0<t1<1<t2<2，即g(t)＝t2－at－a＋3的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，而g(t)图 象开口向上，故⇒2<a<. 学科网（北京）股份有限公司 $$