考点08 函数与方程-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点08 函数与方程 【命题解读】 1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系； 2.判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 3.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 【命题预测】 1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考热点，常与函数的图象与性质交汇命题，主要考 查函数与方程、转化与化归、数形结合思想，题型以选择题和填空题为主，属中、高档题； 3.预计2021年高考中，仍会对函数与方程进行重点考查. 【复习建议】 一、函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在 (a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 三、常用结论与易错提醒 1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点). 2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示.所以f(a)·f(b)＜0是图象连续的函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点. 考向一 判断函数零点所在区间 方法技巧 确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法 1.利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y=f（x）在区间[a，b]内必有零点. 2.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 典例1 　(1)(2020·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) (2)若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　) A. B. C. D. 【答案】　(1)B　(2)C 【解析】　 (1)∵2a＝3,3b＝2，∴a>1,0<b<1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零点．故选B. (2)令g(x)＝x，f(x)＝x，则g(0)＝1>f(0)＝0，g＝<f＝，g＝>f＝，结合图象可得<x0<. 考向二 确定函数零点的个数 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点. (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数. (3)利用函数图像的交点个数判断. 典例1 函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图像,如图所示.由图像可知两个函数的图像有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点. 典例2 函数的零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 令，解出方程即可判断零点个数. 【详解】 当时，，解得， ，，当时，，解得， 综上有2个零点.故选：C. 【点睛】 本题考查函数零点个数的判断，属于基础题. 考向三 由函数有零点(方根有根)求参数 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法： (1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后观察求解. 典例1 已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可. 【详解】 依题意，函数的图象与直线有两个交点， 作出函数图象如下图所示， 由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即. 故选：B. 【点睛】 本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数