考点5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理-2021年高考数学一轮复习考点清盘（新高考地区）

5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 1.如图,向量a-b等于(　　) A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.-2e1-4e2 【答案】　A　 2.如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则=(　　) A.- B.2-2 C.- D.2-2 【答案】　D　 3.已知a,b是不共线的非零向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是(　　) A.λμ=1 B.λμ=-1 C.λ-μ=1 D.λ+μ=2 【答案】　A　 4.在△OAB中,若点C满足=2,=λ+μ,则+=(　　) A. B. C. D. 【答案】　D　 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 1.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 【答案】　D　 2.已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=(　　) A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2) 【答案】　D　 3.在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为　　　　.  【答案】　2 方法1　向量共线问题的求解方法 1.已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与的方向相反,则|a|=(　　) A.1 B.2 C.2 D. 【答案】　C　 2.设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A、B、C三点共线; (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值; (3)设=ma,=nb,=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:+=1. 【答案】　(1)证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,=-=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2, ∴与共线,且有公共点B, ∴A、B、C三点共线. (2)∵8a+kb与ka+2b共线, ∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ)b=0. ∵a与b为不共线的非零向量, ∴⇒8=2λ2⇒λ=±2. ∴k=2λ=±4. (3)证法一:∵M、N、P三点共线, ∴存在实数μ,使得=μ, ∴==a+b. ∵a,b为不共线的非零向量,=αa+βb, ∴ ∴+=+=1. 证法二:∵M、N、P三点共线, ∴=x+y,且x+y=1. 由已知可得,xma+ynb=αa+βb, ∴x=,y=, ∴+=1. 方法2　利用平面向量基本定理解决问题的方法 1.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 【答案】　C　 2.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.  【答案】　6 3.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,则3x+y的最小值为　　　　.  【答案】　 题组一 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　) A.- B.- C.+ D.+ 【答案】　A　 2.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 【答案】　A　 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.