考点4.4 解三角形-2021年高考数学一轮复习考点清盘（新高考地区）

4.4　解三角形 考点一　正弦定理与余弦定理 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,b-c),且m·n=0,则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B　 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sin Bsin C=sin2A,则△ABC的形状是(　　) A.等腰非等边三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】　C　 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=(　　) A.1 B. C.2 D.2 【答案】　C　 考点二　解三角形及其应用 1.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=(　　) A. B. C. D. 【答案】　D　 2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,m=(cos B,2a-b),n=(cos C,c),且m∥n. (1)求角C的大小; (2)若c=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径. 【答案】　(1)由m∥n得c·cos B=(2a-b)·cos C, 由正弦定理得sin C·cos B=2sin A·cos C-sin B·cos C,(2分) 得sin(B+C)=2sin A·cos C, 在△ABC中,sin(B+C)=sin A,且sin A≠0, ∴cos C=,又C∈(0,π),∴C=.(4分) (2)由余弦定理知c2=1=a2+b2-2abcos, 即1=a2+b2-ab, ∵a2+b2-ab=1≥2ab-ab,∴ab≤1, 当且仅当a=b时,等号成立,(7分) S△ABC=absin C=ab≤.(10分) 当S△ABC=时,△ABC为等边三角形, 设△ABC内切圆半径为r内,则S△ABC=(a+b+c)r内, ∴=r内, ∴r内=,即当△ABC的面积取得最大值时,△ABC内切圆半径为.(12分) 题组一 方法1　利用正、余弦定理判断三角形形状的方法 1.在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】　B　 2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】　D　 3.给出下列命题: ①若tan Atan B>1,则△ABC一定是钝角三角形; ②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形; ③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形. 以上正确命题的序号为　　　　.  【答案】　②③ 方法2　求解三角形实际问题的方法 1.某船从A处向东偏北30°方向航行2千米到达B处,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为(　　) A.千米 B.2千米 C.3千米 D.6千米 【答案】　B　 2.风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少. 【答案】　在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°, 由正弦定理得=⇒AP=50. 在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100,∠QAB=45°, ∴AQ=100,又知∠PAQ=75°-45°=30°, 则由余弦定理得PQ2=(50)2+(100)2-2×50×100·cos 30°=5 000, ∴PQ=50. 因此,P,Q两棵树之间的距离为50 m,A,P两棵树之间的距离为50 m. 3.如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°. (1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离