专题08 点、直线、平面之间的位置关系（真题训练）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版必修2）

必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系真题训练 一．选择题 1．（2020•上海）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是 A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 【答案】D 【解析】如图， 由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2， 可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F， 在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC． 连接AC，交FG于M，连接EM， ∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM， ∴EM∥A1C． 在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C． ∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内． ∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD． 故选：D． 2．（2019•新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】B 【解析】∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点， ∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE， ∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线， ∴直线BM，EN是相交直线， 设DE＝a，则BD，BE， ∴BMa，ENa， ∴BM≠EN， 故选：B． 3．（2019•上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系 A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 【答案】B 【解析】如图1，可得a、b、c可能两两垂直； 如图2，可得a、b、c可能两两相交； 如图3，可得a、b、c可能两两异面； 故选：B． 4．（2018•新课标Ⅱ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， （﹣2，2，1），（0，﹣2，0）， 设异面直线AE与CD所成角为θ， 则cosθ， sinθ， ∴tanθ． ∴异面直线AE与CD所成角的正切值为． 故选：C． 5．（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1， AA1， ∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0）， B1（1，1，）， （﹣1，0，），（1，1，）， 设异面直线AD1与DB1所成角为θ， 则cosθ， ∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为． 故选：C． 6．（2018•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中， 与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1，共3条． 故选：C． 7．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，]）， 可知MNAB1， NPBC1； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ＝1，MQAC， △ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ＝4+1﹣2×2×1×（） ＝7， ∴AC， ∴MQ； 在△MQP中，MP； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP； 又异面直线所成角的范围是（0，]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABC