专题06 直角三角形的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题06 直角三角形的存在性问题 在考虑是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①；②；③．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得． 模块一：以函数为背景的直角三角形问题 1、 知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、 解题思路： （1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 计算出相应的边长等信息； （3） 根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 例1.（2020普陀区一模）在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线经过点，与轴交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点. （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）点是轴正半轴上的一点，如果，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是位于轴左侧抛物线上的一点，如果是以为直角边的直角三角形，求点的坐标. 【满分解答】 （1）， （2），则， 过作，， 则，∴ 【总结】利用相等角的正切值相等解决问题 （3）①当时，， 则，设，则 将代入 得（舍），， ∴ ②当时，，则 设，则 将代入 得，（舍）， ∴ 综上所述：， 例2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 【答案】（1）A、B的坐标分别为（，0），（2，0）； （2）直线l解析式为或． 【解析】（1）解方程， 可得：A、B的坐标分别为（，0），（2，0）； （2）设AB中点为D，D点为（，0）， 以D为圆心，AD为半径作圆， 若l与y轴平行，则找不到3个M点，使为直角三角形． ∴l不与y轴平行． ∴必定存在2个M点，使或． 要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”， 即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H， ∵，， ∴，． ∴M0的坐标为或． ∴直线l解析式为或． 【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果． 例3.在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点A（，0）和点B（0，3），顶点为P． （1）求二次函数解析式及点P的坐标； （2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标． 【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）； （2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）． 【解析】（1）由题意得，解得：，； ∴二次函数解析式为， ∴点P的坐标是（1，4）； （2）P（1，4），A（，0），∴ 设点Q的坐标是（x，0），则，． 当时，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标是（1，0）； 当时，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标是（9，0）． 当时，不合题意． 综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）． 【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标． 模块二：以几何为背景的直角三角形问题 1、 解题思路： （1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长． 例4.（2020嘉定二模）如图8，在△ABC中，,AB=5cm，.动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒. 联结BD. （1）当时，求的值； （2）以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B.讨论⊙A与⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值. （3）当△BDE为直角三角形时，直接写出的值. 备用图 图8 【考查内容】两圆位置关系、锐角三角形比的应用、等腰三角形的性质、直角三角形存在性问题 【解析】（1）等腰三角形三线合一的性质、等积法求高、锐角三角比的意义；（2）由内切和外切分别求出对应的t的值，再根据两圆位置关系确定t的取值范围；（3）按照直角进行分类讨论，由一线三等角求解非常方便。 【答案】（1）在ΔABC中，∠C=90°,AB=5cm,cosB= 所以BC=4，AC=3 因为AD=AB=5 所以CD=5-3=2 在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD² 所以BD=2 过点A作AH⊥BD，交BD于点H 因为AD=BD 所以BH=BD= 由等积法，可得AH=2 所以tan∠ABD=2. （2）设圆A