2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标　1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 思考　a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？ 答案　可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式． 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 思考　二次函数y＝x2－4的零点是什么？ 答案　令y＝x2－4＝0，解得x＝±2，所以二次函数y＝x2－4的零点是2和－2. 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 思考　一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？ 答案　一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合． 1．不等式x2<2的解集是________． 答案　{x|－<x<} 解析　由x2<2可得x2－2<0， 即(x－)(x＋)<0， 所以－<x<， 则不等式x2<2的解集是{x|－<x<}． 2．不等式2x2－x－1>0的解集是________． 答案　 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴不等式的解集为. 3．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． 答案　∅ 解析　原不等式变形为3x2－5x＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知， 3x2－5x＋4<0的解集为∅. 4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________．[来源:Z§xx§k.Com] 答案　－2,3 解析　不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别－2,3. 一、一元二次不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. 解　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．[来源:学+科+网Z+X+X+K] (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． (学生) 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 跟踪训练1　解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0. 解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－