河南省南阳市2020年秋期2021届高三年级期中质量评估 数学（文）试题

高三数学（文）参考答案 第 页 共 4 页1 2020 年秋期高中三年级期中质量评估 数学（文）参考答案 一、选择题 CBBADC CACCBA 二、填空题：13、 10 14、 48 15、 ) 24 7 , 6 [  16、( , e]  三、解答题： 17、解：（1）由 221  n nn aa 可得： 2)2()2( 1 1    n n n n aa ，……………3 分 又 11 a ，所以 321 a ， 故数列 }2{ nna  是首项为3，公差为 2 等差数列. ………………5 分 （2）由（1）可知： n n na 212  ………………7 分 所以 )2...842()12...53( nn nS  222 12  nnn …………10 分 18、解：(1)因为 AD∶AB＝2∶3， 所以可设 AD＝2k，AB＝3k, k＞0.又 BD＝ 7，∠DAB＝ π 3 ， 所以由余弦定理，得( 7) 2 ＝(3k) 2 ＋(2k) 2 －2×3k×2kcos π 3 ，解得 k＝1， 所以 AD＝2，AB＝3， ……………………………………4 分 sin∠ABD＝ ADsin∠DAB BD ＝ 2× 3 2 7 ＝ 21 7 . ……………………………………6 分 (2)因为 AB⊥BC，所以 cos∠DBC＝sin∠ABD＝ 21 7 ，所以 sin∠DBC＝ 2 7 7 ， 因为 BD sin∠BCD ＝ CD sin∠DBC ， 所以 CD＝ 7× 2 7 7 3 2 ＝ 4 3 3 . ………………………………………………12 分 19、解：(1)设数列 的公差为 ,则 , ,则 . 高三数学（文）参考答案 第 页 共 4 页2 求得 ,∴ . ………………………………2 分 而 ,即 . 解得 . ∴ . ………………………………4 分 ∴数列 的通项公式为 数列 的通项公式为 …………………………6 分 (2) 方法一：当 2n 时， nnnn bacc  1 ，故 22111232211 ....)...()()()( bababacccccccc nnnnnnnnnn   可得， nnn bababac  ...2211 …………………………8 分 n n nc 2)1(...242322 321  1432 2)1(...2423222  nn nc 两式相减得： 1432 2)1()2...222(4  nnn nc 故 12  nn nc ………………………………12 分 方法二：当 2n 时， nnnn bacc  1 ，故 22111232211 ....)...()()()( bababacccccccc nnnnnnnnnn   可得， nnn bababac  ...2211 …………………………10 分 故 12  nnn nSc ………………………………12 分 20、解：(1)∵不等式 0)( xf 的解集为 ]3,1[ ， ∴ 02  baxx 的二根分别为 1 和3 . …………………………2 分 ∴      3)1( 3)1( b a .即 3,2  ba 故函数 f(x)的解析式为 32)( 2  xxxf .………………………………4 分 (2)由(1)，设 g(x)＝ x2－2x－3 x －4ln x＝x－3 x －4ln x－2， ………………6 分 高三数学（文）参考答案 第 页 共 4 页3 ∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3 x2 － 4 x ＝ （x－1）（x－3） x2 ， 令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3. 当 x 变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 极大值 极小值 当 0<x≤3 时，g(x)≤g(1)＝－4<0， 当 x>3 时，g(e5)＝e5－3 e5 －20－2>25－1－22＝9>0. …………………………10 分 又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增， 因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1 个零点， 故 g(x)仅有 1 个零点. 即方程 xxxf ln4)(  有且只有一个根.……………………12 分 21、解：(1)因为 CBA sinsinsin 、、 成等比数列，所以 CAB si