专题05 相似三角形的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题05 相似三角形的存在性问题 若与相似，理论上应有六种可能情况，但在中考中，6种情况未免过于复杂，所以题目中一般都还会隐含（或明示）着其中一组对应角关系，于是就只需讨论两种情况是否可能，并解出相关结果． 可以将相似三角形的存在问题大致分为两类：以函数为背景的和以几何为背景的。相比而言，以函数为背景的题目往往计算过程较为复杂，但思维过程相对简单，需要的是仔细认真；而以几何为背景的题目思维过程更为复杂，需要相对高的几何能力． 模块一：以函数为背景的相似三角形问题 1、 知识内容： 在纯几何问题中，证明三角形相似主要有三种方法：①两组角对应相等；②一组角相等且其两边对应成比例；③三组边对应成比例． 在以函数为背景的压轴题中，基本都属于第二种情况，其他两种出现较少。若与相似，且，则可能有两种情况：①；②． 2、 解题思路： （1） 寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角； （2） 计算或表示出夹此两角的四条边中的三条； （3） 解出第四条边，并代回题面进行验证，舍去多余情况． 例1.（长宁、金山区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A． （1）求抛物线的表达式及点A的坐标； （2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB； （3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长． 【整体分析】 （1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可； （2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB； （3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可． 【满分解答】 解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n， 得 解得，m＝﹣，n＝5， 则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）； （2）∵AC＝，BC＝，AB＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， 当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q， ∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°， ∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°， ∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB， 又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB； （3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线， 由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1）， 将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5， ∴k＝﹣，∴yAB'＝﹣x+5， 联立解得，x1＝，x2＝0（舍去）， 则F'（，﹣）， 将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n， 得，解得，∴yBB'＝x﹣5， 由题意知，kFF'＝KBB'，∴设yFF'＝x+b， 将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣， ∴yFF'＝x﹣， 联立解得， ∴F（，）， 则FF'＝＝． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用． 例2.如图，在平面直角坐标系中，双曲线（）与直线y = x＋2都经过点A（2，m）． （1）求k与m的值； （2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y = x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求的面积； （3）在（2）的条件下，设直线y = x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与相似，且相似比不为1，求点E的坐标． 【答案】（1）k = 8，m = 4；（2）8；（3）（10，8）． 【解析】（1）将A（2，m）代入y = x + 2，得m = 4； 将A（2，4）代入，得k = 8； （2）将B（n，2）代入，得n = 4； 设BC为， 将B（4，2）代入，得， ∴直线BC解析式为． ∴C点为（0，）． ∴的面积为； （3）D点坐标为（2，0）， ∵的三个角各不相等，且为公共角， ∴当与相似时，或． 当时，相似比为，不合题意，舍去； 当时，． ∴E点坐标为（10，8）． 【总结】本题一方面考查函数解析式与点的坐标的关系，另一方面考查几何图形的面积的确定以及相似三角形的存在性，注意根据公共角去分类讨论． 例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y = ax2＋bx（a ＞ 0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO = BO = 2，∠AOB = 120°． （1）求这条