第10讲幂与指数-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

幂与指数 知识讲解 一、指数运算 1.根式的概念： ①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若， 则称的次方根， 1） 当为奇数时，次方根记作； 2） 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作． ②性质：1）； 2）当为奇数时，； 3）当为偶数时，． 2.幂的有关概念 ①规定：1）N*； N 个 2）； 3）Q，4）、N* 且． ②性质：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）． 注：上述性质对均适用． 典型例题　 一、单选题 1．下列命题中正确的个数为（ ） ①，②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】 ①当为偶数时，，①错误； ②当时，，则，②正确； ③，③错误； ④，④错误 故选 【点睛】 本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题. 2．若，，且，b>0,则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据根式运算、对数运算以及指数运算，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】 ，故A错误；，故B错误；，故C错误．根据指数运算公式可知D选项正确. 故选D. 【点睛】 本小题主要考查根式运算、对数运算以及指数运算，属于基础题. 3．用分数指数幂表示：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用分数指数幂的运算法则即可确定所给的分数指数幂的值. 【详解】 ． 故选A. 【点睛】 本题主要考查分数指数幂及其运算法则，属于基础题. 4．已知，则x等于　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求． 【详解】 由题意，可知，可得，即，所以，解得． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了有理指数幂与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幂和根式的运算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 二、填空题 5．已知，则_________. 【答案】9 【解析】 【分析】 先由根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算可得，再将代入运算即可得解. 【详解】 解：，， 故答案为9． 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题. 6．__________ . 【答案】 【解析】 【分析】 先将根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算性质，结合，运算即可得解. 【详解】 解：， 故答案为. 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题. 7．计算______． 【答案】8 【解析】 【分析】 利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 ． 故答案为8． 【点睛】 本题考查指数式化简求值，指数的性质、运算法则等基础知识，是基础题． 8．化简：__________． 【答案】 【解析】 分析：根据实数指数幂的运算，即可化简得到结果． 详解：由实数指数幂的运算可得． 点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算，熟记实数指数幂的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 三、解答题 9．把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式（式中字母均为正实数）． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】 直接利用根式与指数的互化公式求解. 【详解】 （1）． （2）． （3）． （4）． 【点睛】 本题主要考查根式与指数的互化，属于基础题. 10．将下列根式化成分数指数幂的形式. （1）(a>0)； （2）； （3）(b>0). 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （2）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （3）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解. 【详解】 （1）原式； （2）原式=； （3）原式＝. 【点睛】 本题考查了根式化为分数指数幂及分数指数幂的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11．化简或求值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可. 【详解】 （1）原式 （2）原式 【点睛】 本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题. 12．已知，，求的值. 【答案】. 【解析】 【分析】 先把根式化为分数指数幂，再由分数指数幂的运算法则即可得解.