第10讲幂与指数-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

幂与指数 知识讲解 一、指数运算 1.根式的概念： ①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若， 则称的次方根， 1） 当为奇数时，次方根记作； 2） 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作． ②性质：1）； 2）当为奇数时，； 3）当为偶数时，． 2.幂的有关概念 ①规定：1）N*； N 个 2）； 3）Q，4）、N* 且． ②性质：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）． 注：上述性质对均适用． 典型例题　 一、单选题 1．若实数x，y同时满足方程和，则的值为（ ） A．18 B．24 C．21 D．27 【答案】D 【解析】 【分析】 由实数指数幂的运算性质，得到，解得，即可求解. 【详解】 由实数x，y同时满足方程和， 可得，即，解得，所以， 即的值为27. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查计算能力. 2．化简（其中）的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分数指数幂化简即可. 【详解】 =,选C. 【点睛】 本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题. 3．化简 (a，b＞0)的结果是(　　) A． B．ab C． D．a2b 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 本题选择C选项. 【点睛】 本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题. 4．设，则 (　　) A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数幂的运算性质，将等式两边平方，进而得到结论. 【详解】 将两边平方得 ,所以a＋a－1＝m2＋2， 而 ，即= m2＋2 故选C. 【点睛】 本题考查负分数指数幂的运算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键, 考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　) A．1 B．－1 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用乘法公式与指数幂的运算性质计算. 【详解】 故选C. 【点睛】 本题考查了乘法公式与指数幂的运算性质, 熟练掌握运算法则是解本题的关键 二、填空题 6．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值． 【详解】 函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）． 则：， 整理得：=1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用． 7．_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数幂的运算性质与运算法则计算. 【详解】 【点睛】 本题考查指数幂的乘除混合运算，考查指数幂的运算性质和乘除运算法则，考查了推理能力与计算能力. 8．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值． 【详解】 m=2，n=3，则原式= =m•n-3=2×3-3=， 故答案为． 【点睛】 本题考查了有理指数幂及根式．属基础题． 9．已知则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用同底数指数幂的运算性质化简，得，根据已知得= . 【详解】 因为所以，所以=. 【点睛】 本题考查指数幂的化简求值，考查指数幂的运算性质，考查了推理能力与整体代换能力. 三、解答题 10．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）将带分数化为假分数，小数化为分数，利用根式的运算性质化简计算即可； （2）分和两种情况讨论，利用根式的运算性质化简计算即可； （3）将二次根式中被开方数化为完全平方的形式，利用根式的性质化简计算即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 因此，原式； （3）原式 【点睛】 本题考查根式的化简计算，熟练利用根式的性质是关键，考查计算能力，属于中等题. 11． 【答案】或 【解析】 【分析】 将方程变形为，令，则解出，再计算出； 【详解】 解：因为 令，则，解得或（舍去） 即则或 解得或 【点睛】 本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题. 12．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）.