第9讲不等式与线性规划-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

不等式与线性规划 知识讲解 一、不等式的定义 1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）（反身性或对称性） 2），（传递性） 3） 4），则． 5），，则；如果，，则． 6），则． 7），则． 8），则 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程（） 有两个相异实根 （） 有两个相异实根 （） 没有实数根 （）的解集 {或} （）的解集 {} 2.分式不等式的解法 1） 2）且 3） 3.无理不等式的解法 1）或 2） 4.绝对值不等式 1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离 2）当时，或，； 当时，，． 3）绝对值不等式的解法 ①公式法或 ②平方法 ③分情况讨论法 4.高次不等式（穿线法：） 一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将最高次项的系数化为正数； 2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； 3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 三、基本不等式 均值定理： 定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立 推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立． 四、线性规划的有关概念 1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件． 不等式组就是的一个约束条件． 2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件． 3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式． 如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数． 4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数． 5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题． 6.可行解：满足约束条件的解． 7.可行域：所有可行解组成的集合． 8.最优解：使目标函数取得最值的可行解． 五、线性规划的图解法 1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为） 2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点． 3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值． 经典例题 一、单选题 1．已知实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值为（ ） A．4 B． C．6 D．7 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，做出平面区域，根据几何意义求解即可. 【详解】 不等式组表示的平面区域为图中的(包括边界)， 由图知，平移直线，当经过点C时，取得最小值， 易得，即. 故选：C. 【点睛】 本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，是基础题. 二、填空题 2．设，满足约束条件则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 画出约束条件表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果. 【详解】 画出约束条件表示的平面区域如下， 因为目标函数可化为， 因此表示直线在轴截距的倍， 由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大； 当直线过点时，在轴的截距最小； 由解得，此时； 由得，此时， 所以. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查求线性目标函数的范围，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 3．若x，y满足约束条件，则的最大值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】 先根据不等式组画出可行域，再根据目标函数求得最大值即可. 【详解】 根据约束条件画出可行域如下： 作目标函数的一系列平行线，可知直线过A点时z最大. 由得，故的最大值为. 故答案为：10. 【点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题. 4．已知实数满足约束条件，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】 画出约束条件表示的可行域，如图， 由可得，得， 将变形为， 平移直线， 由图可知当直经过点时， 直线在轴上的截距最大， 所以的最大值为. 故答案为：7. 【点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题. 5．若实数，满足约束条件，则的最小值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的平面区域，根据图形即可判断取最小值的点. 【详解