第9讲不等式与线性规划-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

不等式与线性规划 知识讲解 一、不等式的定义 1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）（反身性或对称性） 2），（传递性） 3） 4），则． 5），，则；如果，，则． 6），则． 7），则． 8），则 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程（） 有两个相异实根 （） 有两个相异实根 （） 没有实数根 （）的解集 {或} （）的解集 {} 2.分式不等式的解法 1） 2）且 3） 3.无理不等式的解法 1）或 2） 4.绝对值不等式 1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离 2）当时，或，； 当时，，． 3）绝对值不等式的解法 ①公式法或 ②平方法 ③分情况讨论法 4.高次不等式（穿线法：） 一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将最高次项的系数化为正数； 2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； 3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）； 三、基本不等式 均值定理： 定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立 推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立． 四、线性规划的有关概念 1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件． 不等式组就是的一个约束条件． 2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件． 3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式． 如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数． 4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数． 5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题． 6.可行解：满足约束条件的解． 7.可行域：所有可行解组成的集合． 8.最优解：使目标函数取得最值的可行解． 五、线性规划的图解法 1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为） 2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点． 3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值． 经典例题 　一．选择题（共2小题） 1．已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：a，b∈R，a+b=2． 则+= ===， 令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0， 则=， 令4﹣2t=s（s≥4），即t=， 可得==， 由s+≥2=8， 当且仅当s=4，t=2﹣2时上式取得等号， 可得≤=， 则+的最大值为， 故选：C． 　 2．设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（　　） A．a2+3＞2a B．a2+b2＞0 C．a3+b3≥a2b+ab2 D．a+≥2 【解答】解：A：将不等式转化为a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2＞0恒成立，A对． B：a2+b2≥0，B错 C：将不等式转化为a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）不一定大于等于0，C错． D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错． 故选：A． 　 二．填空题（共5小题） 3．已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是　[0，]　． 【解答】解：由x2+y2=2x，得y2=2x﹣x2≥0， ∴0≤x≤2，x2y2=x2（2x﹣x2）=2x3﹣x4． 设f（x）=2x3﹣x4（0≤x≤2）， 则f′（x）=6x2﹣4x3=2x2（3﹣2x）， 当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增； 当＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减， ∴当x=时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=， 当x=0、x=2时，f（x）=0， ∴函数f（x）的值域为[0，]， 即0≤x2y2≤． 故答案为：[0，]． 　 4．已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y=　　． 【解答】解：由f（t）=lnt﹣t+1的导数为： f′（t）=﹣1=， 当t＞1时，f′（t）＞0，f（t）递增， 当0＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）递减， 可得f（t）的最大值为f（1）=0， 即有lnt≤t﹣1， 则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5） ≤x+2y