专题15 数列求和-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题15 数列求和 经典题型集锦 一、单选题 1．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第 个三角形数为 ，则下面结论错误的是（ ） A． B． C．1024是三角形数 D． 【答案】C 【解析】∵ ， ， ，…，由此可归纳得 ，故A正确； 将前面的所有项累加可得 ，∴ ，故B正确； 令 ，此方程没有正整数解，故C错误； EMBED Equation.DSMT4 ，故D正确. 故选C 2．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 个点，相应的图案中总的点数记为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意，每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即 ， ， 那么 ， 则 ． 故选：C． 3．数列1， ， ，…， ，…的前 项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以数列 的前n项和 . 故选：A. 4．已知数列 各项为正， ， ，记 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，且 ， ，则 ， ，依次类推 ， 由 可得 ， ， ，且 ， ，所以，数列 为单调递增数列， ， ， ，所以， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 所以， ， . 故选：C. 5．正项数列 前n项和为 ，且 ， ， （ ）成等差数列， 为数列 的前n项和，且 对任意 总有 （ ），则K的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】∵ ， ， （ ）成等差数列， ∴ ， ∴ 时， ， 可得： ， ∵ ， ∴ ， 时， ，解得 . ∴数列 是等差数列，首项与公差都为1. ∴ . ∴ ， 时， ， ∴ 时， ， 对任意 总有 （ ），则K的最小值为2. 故选：B. 6．设数列 ， ，且 EMBED Equation.DSMT4 为方程 的两个实数根.数列 的通项 ，前n项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 , 由 可得: ,因为 ,易解得 ， 所以 ，故 ， ． 故选:B． 7．已知数列 的通项公式 ，则 （ ） A．101 B．162 C．180 D．210 【答案】B 【解析】由于 ，当且仅当 时等号成立； 由对勾函数的性质： 故 故选：B 8．数列 的前 项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时， ，即 ； 当 时， ，则 . 满足 ，所以，对任意的 ， . 设 ， 则 ， 下式 上式得 ， 因此， . 故选：B. 9．在一个数列中，如果 ，都有 （ 为常数），那么这个数列叫做等积数列， 叫做这个数列的公积.已知数列 是等积数列，且 ， ，公积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知 ，则对任意的 ， ，则 ， ， 由 ，得 ， ， ， ，因此， . 故选：B. 10．已知数列 满足 ， ，且 ，则数列 的前 项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，将此等式变形得 ， 由累乘法得 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 因此，数列 的前 项和为 . 故选：B. 11．已知数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于 EMBED Equation.DSMT4 又 故选：A 12．已知函数 的导数 ，则数列 的前 项和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，则 ，得 ， ， ， 因此，数列 的前 项和 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：C. 二、填空题 13．若 的展开式中的系数为 ， 则 =____________． 【答案】2 【解析】由二项式定理知 的系数是 ， ，所以 . 14．已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为_______ 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 所以 的图象在点 处的切线斜率 . 因为切线 与直线 垂直，所以 ， 即 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 . 故答案为: 15．已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列， ，数列 的前项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为______________. 【答案】10 【解析】由题意，当 时， ． 当 时， ． 则 ， ． ， ， 成等差数列， ，即 ， 解得 ． ． ， ． EMBED Equation.DSMT4 ． ． EMBED Equation.DSMT4 ， ．