专题14 等比数列-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题14 等比数列 经典题型集锦 一、单选题 1．在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若 ， ， ，数列 的前 项和为 ，则 取最大值时， 的值为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】由题意可知 ，由等比数列的性质可得 ，解得 ， 所以 ，解得 ， ， ， 则数列 为等差数列， ， ， ， 因此，当 或 时， 取最大值，故选D. 2．定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 ,若 仍是比数列，则称 为“保等比数列函数”.现有定义在 上的如下函数： ① ； ② ； ③ ； ④ 则其中是“保等比数列函数”的 的序号为（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】设等比数列 的公比为 ，则 . 对于①中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”； 对于②中的函数 ， 不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”； 对于④中的函数 ， 不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选C. 3．设 ，若3是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为3是 与 的等比中项， 所以 所以a+b=2. 所以 ， 当且仅当 时取等. 故选D 4．等差数列 的公差是2，若 成等比数列，则 的前 项和 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得， ，又因为 是公差为2的等差数列，故 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故 ． 5．在等比数列 中， 是关于 的方程 的两个实根，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 是关于x的方程 的两实根，所以 ，由 得 ，所以 ，即 ，所以 .故选B 6．已知各项都为正数的等比数列 满足 ，存在两项 使得 ，则 的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 或 ，又 ，所以 ；由 可知： ，所以 ，则 ； EMBED Equation.DSMT4 ，取等号时 ，即 ， 故选B. 7．已知 ， ， 是等差数列 中的三项，同时 ， ， 是公比为 的等比数列 中的三项，则 的最大值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解：由题意，数列 不是常数列. 由 ， ， 是等差数列 中的三项， 得 ，即 ， 得 . 由 ， ， 是公比为 的等比数列 中的三项， 得 ， 则 ，要使 最大，则 最小， 由 ，得 ， (舍)； ， ； ， ； ， ；…； 由上可知，当 与 均增加时，由于 的系数小于 的系数，则要使等式 成立， 比 增加要快. 的最小值为 . 则 的最大值为 . 故选：B. 8．若等比数列 的公比为 EMBED Equation.DSMT4 ，则关于 的二元一次方程组 的解的情况的下列说法中正确的是（ ） A．对任意 EMBED Equation.DSMT4 ，方程组有唯一解 B．对任意 EMBED Equation.DSMT4 ，方程组无解 C．当且仅当 时，方程组有无穷多解 D．当且仅当 时，方程组无解 【答案】C 【解析】解方程组， ，消去 ， 得到 数列 的公比为 EMBED Equation.DSMT4 的等比数列， ， 当 ，即 时，方程组由无穷多解， 当 ，即 时，方程组无解. 故选：C 9．已知数列 为正项等比数列，且满足 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ， 则 ， ∴ 或 （舍去）. 由 ，得 ，即 ， ∴ ，则 ，所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 ， 时， 取得最小值为 . 故选：D. 10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（ 秤 斤， 斤 两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给 个人，则得银最少的一个人得银（ ） A． 两 B． 两 C． 两 D． 两 【答案】B 【解析】共有银 两， 设分银最少的为 两，则 人的分银量构成首项为 ，公比为2的等比数列， 故有 ，所以 ， 故选：B． 11．已知等比数列 的各项均为正数,且 ,则 ( ) A．6 B．9 C．18 D．81 【答案】C 【解析】由于 由等比中项的性质， 故选：C 12．已知 ， ， ， ，设数列 的前 项和为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， ， 则 ，