专题12 数列的概念与简单表示法-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析

专题12 数列的概念与简单表示法 经典题型集锦 一、单选题 1．设数列 满足 ， ， ，数列 前n项和为 ，且 （ 且 ）.若 表示不超过x的最大整数， ，数列 的前n项和为 ，则 （ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【解析】当 时， ， ， ， ， 从第2项起是等差数列. 又 ， ， ， ， ， 当 时， ， （ ）， 当 时， . 又 ， . 故选：C. 2．已知数列 ， ， ， ，n∈N*，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因 ， ， EMBED Equation.DSMT4 . 故选：C. 3．已知数列 满足 ， ，若 ，设数列 的前 项和为 ，则使得 最小的整数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 为递增数列， 而 ， 所以 所以 ， 因为数列 的前项和为 ， 所以 而 ， ， 所以 从而得到 所以 要取最小， 的整数值为 ， 故选C. 4．已知数列 的前 项和 满足 .若对任意正整数 都有 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ，即 ，得 ； 当 时，由 ，得 ，两式相减得 ，得 ， ，所以，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ， . ， 由 ，得 ， 所以，数列 单调递增，其最小项为 ，所以， ， 因此，实数 的取值范围是 ，故选C． 5．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 的最小的一项是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得 ， ，所以数列 为首项为 ，公差为 的等差数列， ，则 ，其对称轴 .所以 的最小的一项是第 项.故选A. 6．已知等差数列{an}首项为a，公差为1， ，若对任意的正整数n都有bn≥b5，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：等差数列{an}首项为a，公差为1， 所以an=a+n-1， 所以 ， 则 ， 若对任意的正整数n都有bn≥b5， 所以（bn）min=b5= ， 所以 ， 解得-5＜a＜-4． 故选D． 7．在数列 中， ， ，则 的通项公式为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得 ， 所以 将上述 个式子相加，整理的 又因为 ，所以 ． 故选A． 8．定义 为 个正数 的“均倒数”，若已知正整数数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得数列 的前 项的“均倒数”为 ， 可得 ， 则 时， ， ，当 时， ，满足 ， ， 又 ，故 ， . 故选：A 9．上一个 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为 ，则下列猜想正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】上一个 层的台阶，所有不同上法的总数为 ， 那么可以从第 个台阶上两层到第 层的台阶， 也可以从第 个台阶上一层到第 层的台阶， 故 ，其中 ， 但 ， ， 故选：D. 10．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且 ， 为 的前 项和， ，则 （ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】 函数 是奇函数 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 是以3为周期的周期函数. 数列 满足 ，且 ， ，且 ， ， 两式相减可得 ，从而得 ， ， ， （1） . 故选： . 11．对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 ，对自然数 ，规定 为数列 的 阶差分数列，其中 .若 ，且 ，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中定义可得 ， 即 ，即 ， 等式两边同时除以 ，得 ， 且 ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ， 因此， . 故选：B. 12．已知数列 中， ， ，下列说法正确的是（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 最小时，有 D．当 最大时，有 【答案】A 【解析】令 ，由二次函数图象可知，当 时， .当 时， ，故 ，所以 ，故A正确；当 时，因为 都小于4，所以 ，故B错误；当 时， ，故当 时， ，所以 ，由二次函数图象可知，当 时， .所以当 时， ，故 ，故C错误；当 时，所以 ，但当 时， ，且当 时， ，所以 ，故D错误. 故选：A 二、填空题 13．已知数列 满足 ，则数列 的前32项之和为__________. 【答案】528 【解析】当 为奇数时， ， ，两式相减得 ， 当 为偶数时， ， ，两式相加得 ， 所以 . 故答案为：528 14．已