专题20 正方形的判定与性质-2021年中考数学分类专题突破

专题20 正方形的判定与性质 一．选择题 1．下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 解：A、正确．对角线互相垂直的矩形是正方形； B、正确．对角线相等的菱形是正方形； C、错误．应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形； D、正确．邻边相等的矩形是正方形； 故选：C． 2．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　） A．30 B．34 C．36 D．40 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AH＝BE＝CF＝DG． 在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF+∠AEH＝90°， ∴∠HEF＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5， ∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝， ∴四边形EFGH的面积是：×＝34， 故选：B． 3．在△ABC中，AC＝AB，D，E，F分别是AC，BC，AB的中点，则下列结论中一定正确的是（　　） A．四边形DEBF是矩形 B．四边形DCEF是正方形 C．四边形ADEF是菱形 D．△DEF是等边三角形 解：结论：四边形ADEF是菱形． 理由如下：∵CD＝AD，CE＝EB， ∴DE∥AB， ∵BE＝EC，BF＝FA， ∴EF∥AC， ∴四边形ADEF是菱形， ∵AC＝AB， ∴AD＝AF， ∴四边形ADEF是菱形． 故选：C． 4．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（　　） A．7 B．8 C．9 D．14 解：如图， 延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形， ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°， ∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形． 这个八边形的面积等于＝矩形面积﹣4个小三角形的面积＝3×3﹣4×1×1÷2＝7． 故选：A． 5．直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，DC＜AB，AB＝AD＝12，E是边AD上的一点，恰好使CE＝10，并且∠CBE＝45°，则AE的长是（　　） A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7 解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F， ∵∠A＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴四边形ABFD是正方形， 把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG， 则AE＝FG，BE＝BG，∠ABE＝∠FBG， ∵∠CBE＝45°， ∴∠CBG＝∠CBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABE＝90°﹣∠CBE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CBE＝∠CBG， 在△CBE和△CBG中， ， ∴△CBE≌△CBG（SAS）， ∴CE＝CG， ∴AE+CF＝FG+CF＝CG＝CE， 设AE＝x，则DE＝12﹣x，CF＝10﹣x， ∴CD＝12﹣（10﹣x）＝x+2， 在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2， 即（x+2）2+（12﹣x）2＝102， 整理得，x2﹣10x+24＝0， 解得x1＝4，x2＝6， 所以AE的长是4或6． 故选：B． 6．如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．③④ 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当③AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意． 故选：A． 7．已知，如图一张三