人教A版高中数学必修五3.4基本不等式 知识点及练习（含解析）

3.4 基本不等式 一、基本不等式： 1、重要不等式： 2＋b2≥2ab(a、b∈R) 当且仅当“ ＝b”时“＝”成立。 注意：（1）不等式成立的条件是“ ＝b”，如果 、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形 ：① b≤ ② b≤ ③ ≥ ≥ ④2( 2＋b2)≥( ＋b)2 2、基本不等式： ≥ ( 、b∈R＋) 当且仅当“ ＝b”时“＝”成立。 注意：（1）内容： ＞0， b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中 叫做正数 、b的算术平均数， 叫做正数 、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 例1：求证对于任意实数 ，b，c，有 2＋b2＋c2≥ b＋bc＋c ，当且仅当 ＝b＝c时等号成立。 【证明】：∵ a2＋b2≥2ab c2＋b2≥2bc a2＋c2≥2ac ∴ 2(a2＋b2＋c2) ≥2ab＋2bc＋2ac ，∴ a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca 当且仅当a＝b＝c时等号成立。 变式练习1：若0＜ ＜1，0＜b＜1，且 ≠b，则 ＋b，2 ，2 b， 2＋b2中最大的一个是（ ） A： 2＋b2 B：2 C：2 b D： ＋b 变式练习2：下列不等式：（1）x＋ ≥2；（2）｜x＋ ｜≥2；（3）若0＜ ＜1＜b，则logab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。 均值不等式推广： ≤ ≤ ≤ 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 当仅且当“a＝b”时“＝”成立。 二、最值定理 已知x、y都是正数。 （1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 ，即x＋y≥2 ； （2）如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值 ，即xy≤ 。 利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。 应用一：求最值 例2：已知函数f(x)＝3x＋ (x≠0) （1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值； 【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋ ≥2 ＝12 当且仅当3x＝ ，即x＝2时，“＝”成立。 （2）当x