专题04 等腰三角形的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题04 等腰三角形的存在性问题 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 模块一：以函数为背景的等腰三角形问题 1、 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2、 解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 例1.如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y． （1）当D为BC的中点时，求CE的长； （2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果为等腰三角形，求x的值． 【答案】（1）；（2）（）；（3）2或． 【解析】解：∵，， ∴． ∴． ∴． （1）当D为BC中点时，，∴． （2），x的取值范围为． （3）分情况讨论， ①当AD = AE时： ∵，∴，此情况不存在； ②当AD = DE时： ∴，即， 解得：（舍）或； ③当AE = DE时： ∴． ∴． 又∵，∴， ∴，解得：， 综上：x的值为2或． 【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用． 例2.已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH = HK； （3）当是等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）；（2）略；（3）m的值为或． 【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4）， ∴设抛物线的解析式为（） 又∵抛物线过点A（，0）∴， ∴这条抛物线的解析式为； （2）∵A（，0），E（，4），C（0，3） ∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为， ∵D的横坐标为m，轴， ∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3） ∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK； （3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3） 1° 若CG = CH，则 解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去； 所以这种情况不存在． 2° 若GC = GH，则， 解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去． ∴； 3° 若HC = HG，则，解得：． 综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或． 【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择． 例3.（2020松江区一模）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ． （1）求抛物线表达式； （2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度； （3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 【整体分析】 （1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c，化简求出b，c的值即可； （2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x，x2＋2x＋3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解； （3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求解即可. 【满分解答】 （1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c得 ，解之得： ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3 （2） ∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q（x，x2＋2x＋3） ∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB的解析式为： ∴ P (x，3－x) ∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x ∴ 即 ∴（0舍去） ∴ （3）∵M（m，0），P（m，3－m），