考点07 函数的单调性与最值-备战2021年新高考数学一轮复习考点帮

考点07函数的单调性 与最值 【命题解读】 函数的单调性是函数的一个重要性质，在历年的高考中，单调性都有考察，这部分往往与导数去相联系，单纯的用定义证明函数单调性的题目几乎没有。对于最值问题往往与函数单调性相联系，在闭区间上的最值是出现最多的，而在导数极值最值那部分考察的比较多。 【命题预测】 预计2021年的高考函数的单调性出题还是以选择或者填空为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题。 【复习建议】 集合复习策略： 1.理解函数单调性的定义； 2.掌握函数单调性的应用； 3.会利用函数的单调性求参数的范围。 考向一　函数的单调性 1．函数的单调性： 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数  当x1<x2时,都有　f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数  图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 2.函数单调性的应用，应用函数单调性求解不等式以及判断大小，利用函数的单调性求参数的范围。 1. 【2020全国高中数学课时练】函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间是　　　　. 【答案】(-∞,-3) 【解析】由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1, 即函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞). 令t=x2+2x-3,则y=lot, ∵y=lot为减函数, t=x2+2x-3在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, ∴函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间为(-∞,-3). 2.函数f(x)=,若a=f（-）,b=f(ln 2),c=f（）,则 (　　) A. c>b>a B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a 【答案】D 【解析】f(x)==1+,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 易知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数, 且当x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0. ∵ln 2>0,-<0,ln <0, ∴b>0,a<0,c<0. 又-=-ln ,ln =-ln 3, 且-ln >-ln 3,∴->ln . ∵f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴f-<fln , 即c>a,∴b>c>a.故选D. 考向二　函数最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;  (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 1. 【2019江西红色七校联考】已知f(x)=(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是 (　　) A.(,1) B.(1,+∞) C.(0,]∪(1,+∞) D.(,1)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】①若a>1, 则当x≤1时,f(x)=ax+a单调递增,此时a<f(x)≤2a; 当1<x≤a时,f(x)=a-x+1单调递减, 当x>a时,f(x)=x-a+1单调递增, 故当x>1时,f(x)的最小值为f(a)=1. 若f(x)有最小值,则a>1. ②若0<a<1, 则当x≤1时,f(x)=ax+a单调递减,此时f(x)≥2a; 当x>1时,f(x)=x-a+1单调递增,此时f(x)>2-a. 若f(x)有最小值,则2a≤2-a,得0<a≤. 综上,实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞). 故选C. 2. 【2020三亚华侨学校高三开学考试】设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，，则有（　　） A．函数的最大值是1，最小值是 B．函数是周期函数，且周期为2 C．函数在上递减，在上递增 D．当时， 【答案】AC 【解析】因为函数满足，即， 所以函数是偶函数， 因为， 所以函数是周期为的周期函数，B错误， 因为当时，， 所以当时，函数是增函数，最大值为，最小值为， 根据函数是偶函数可知当时最大值为、最小值为， 根据函数是周期为的周期函数可知当时，最大值为，最小值为，A正确， 因为当时，函数是增函数， 所以当时，函数是减函数， 所以根据函数周期为可知函数在上递减，在上递增，C正确， 令，则，， 故当，， 令，则，， 故当，，D错误， 故选：AC. 题组一（真题在线） 1. 【2020年高考全国I卷理数】若，则