河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期11校期中联考数学（理）试题（图片版）

$$ 高三·数学（理科）第 1 页（共 10 页） 环际大联考 “圆梦计划”2020～2021 学年度第一学期期中考试 高三数学（理科） 参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.D【解析】∵𝑈 = {𝑥|𝑦 = 𝑥 + 1} = 𝐑，𝑀 = {𝑥|𝑥 > 5 或𝑥 < −3}， ∴∁𝑈𝑀 = {𝑥|−3 ≤ 𝑥 ≤ 5} = [−3,5]． 2.B【解析】∵复数𝑧满足𝑧i − 1 = √2i， ∴𝑧 = 1+√2i i = √2 − i， ∴复数𝑧的模为√(√2) 2 + (−1)2 = √3. 3.D【解析】函数𝑓(𝑥)的定义域为{𝑥|𝑥 ≠ 0}， ∵𝑓(−𝑥) = (e−2𝑥 + e2𝑥) ln|−𝑥| = (e2𝑥 + e−2𝑥) ln|𝑥| = 𝑓(𝑥)， ∴𝑓(𝑥)为偶函数，排除选项 B； 当𝑥 > 1时，𝑓(𝑥) > 0；当0 < 𝑥 < 1时，𝑓(𝑥) < 0，排除选项 A 和 C． 4.D【解析】∵数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 1，当𝑛 ≥ 2且𝑛 ∈ 𝐍 ∗时，𝑎𝑛，𝑆𝑛，𝑆𝑛 − 1成等 比数列， ∴𝑆𝑛 2 = 𝑎𝑛 ∙ (𝑆𝑛 − 1) ⇒ 𝑆𝑛 2 = (𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1) ∙ (𝑆𝑛 − 1) ⇒ 𝑆𝑛−1 − 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛𝑆𝑛−1， ∴ 1 𝑆𝑛 − 1 𝑆𝑛−1 = 1， ∴数列{ 1 𝑆𝑛 }是以 1 𝑎1 = 1为首项，1为公差的等差数列， ∴ 1 𝑆𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) = 𝑛， ∴𝑆𝑛 = 1 𝑛 ， ∴𝑎5 = 𝑆5 − 𝑆4 = 1 5 − 1 4 = − 1 20 . 5.C【解析】模拟程序的运行，可得 a，i 的取值如下表： a 3 10 5 16 8 4 2 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 ∴输出的结果为𝑖 = 8． 6.D【解析】基本事件有6个，分别为： 高三·数学（理科）第 2 页（共 10 页） 甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，乙乙甲，乙甲乙，甲乙乙， 其中甲恰好辅导两次包含的基本事件个数为3， 则甲恰好辅导两次的概率𝑃 = 3 6 = 1 2 . 7.B【解析】如图，连接𝐵𝐷，与𝐴𝐶交于点𝑂，则𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗. ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为1的正方形，∴|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √2 2 . 设|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 𝑥，要使𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ (𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗的值最小，则平面向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗与𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗反向， ∴点𝑃在线段𝐴𝑂上，|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √2 2 − 𝑥，𝑥 ∈ [0, √2 2 ]， ∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ (𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 2𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2 (𝑥 − √2 4 ) 2 − 1 4 . 当𝑥 = √2 4 时，𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ (𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗)有最小值，为− 1 4 ． 8.D【解析】在(1 + 𝑥 + 1 𝑥2020 ) 12 的展开式中，通项公式为𝑇𝑟+1 = C12 𝑟 ∙ (𝑥 + 1 𝑥2020 ) 𝑟 . 对于(𝑥 + 1 𝑥2020 ) 𝑟 ，通项公式为𝑇𝑘+1 = C𝑟 𝑘 ∙ 𝑥𝑟−2021𝑘，𝑘 ≤ 𝑟，𝑟，𝑘 ∈ 𝐍，𝑟 ≤ 12. 令𝑟 − 2021𝑘 = 2，可得𝑟 = 2 + 2021𝑘， 若𝑟 = 2，则𝑘 = 0， ∴𝑥2项的系数为C12 2 ∙ C2 0 = 66. 9.D【解析】函数𝑓(𝑥) = 𝑎 ln 𝑥 + 𝑏𝑥2的导数𝑓′(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 2𝑏𝑥， 可得函数𝑓(𝑥)的图象在𝑥 = 1处的切线斜率为𝑎 + 2𝑏. 由切线与直线𝑥 + 𝑦 − 2e = 0垂直，可得𝑎 + 2𝑏 = 1(𝑎 > 0，𝑏 > 0)， 则 1 𝑎 + 1 𝑏 = (𝑎 + 2𝑏) ( 1 𝑎 + 1 𝑏 ) = 1 + 2 + 𝑎 𝑏 + 2𝑏 𝑎 ≥ 3 +