第14讲对数函数-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（拔高，学生版+教师版）

对数函数 知识讲解 一、对数函数的图像与性质 ①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下 图 象 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当时， 时 时 时 时 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 ②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，． 当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数． 二、对数函数与指数函数的关系 关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （定义法） （转化法） （取对数法） 三、对数函数有关的性质 （1）与；与；与 关于对称， （2）已知,则 （3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点． 典型例题 一．选择题（共7小题） 1．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（﹣2，2） C．[﹣2，2] D．（﹣∞﹣2）∪（2，+∞） 【解答】解：∵函数的定义域是R， ∴不等式x2+ax+1＞0恒成立， 即△=a2﹣4＜0， ∴﹣2＜a＜2， 即实数a的取值范围是（﹣2，2）． 故选：B． 　 2．函数y=logx+1（8﹣2x）的定义域是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，30 C．（﹣3，1） D．（﹣1，0）∪（0，3） 【解答】解：由，得﹣1＜x＜0或0＜x＜3． ∴函数y=logx+1（8﹣2x）的定义域是（﹣1，0）∪（0，3）． 故选：D． 　 3．已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：∵t＞1，∴lgt＞0． 又0＜lg2＜lg3＜lg5， ∴2x=2＞0，3y=3＞0，5z=＞0， ∴=＞1，可得5z＞2x． =＞1．可得2x＞3y． 综上可得：3y＜2x＜5z． 故选：D． 　 4．函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤﹣ C．a≥1或a＜﹣ D．a＞1或a≤﹣ 【解答】解：函数f（x）=与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2）， 而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）． 从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点， 当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点． 当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=，恒过定点坐标为（，0），往右走图象只有一个交点． ∴a＞1或a≤﹣． 故选：D． 　 5．函数y=logax当x＞2 时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（　　） A． B． C．1＜a≤2 D． 【解答】解：因为函数y=logax在x∈（2，+∞）上总有|y|＞1， 所以a分两种情况讨论，即0＜a＜1与a＞1． ①当0＜a＜1时，函数y=logax在x∈（2，+∞）上单调递减，并且有|y|＞1恒成立， 即总有y＜﹣1，则只需函数的最大值小于﹣1即可， 因为区间（2，+∞）是开区间， 所以有， 解得：≤a＜1． ②当a＞1时，函数y=logax在x∈（2，+∞）上单调递增，并且有|y|＞1恒成立， 即总有y＞1，则只需函数的最小值大于1即可， 因为区间（2，+∞）是开区间， 所以有loga2≥1，解得：1＜a≤2． 由①②可得 故选：A． 　 6．已知函数f（x）=loga（x2﹣ax+5）（a＞0且a≠1）满足对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，f（x2）﹣f（x1）＜0，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．（1，+∞） D．（0，1） 【解答】解：由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数． 令t=x2﹣ax+5，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，且f（x）=logat． 由复合函数的单调性规律可得a＞1，且（）2﹣a•+5≥0， 解得 1＜a≤2， 故选：A． 　 7．若函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（　　） A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[） 【解答】解：令y=logat，t=2﹣ax， ∵a＞0 ∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减 ∵f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增 ∴函数y=logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立 ∴ ∴0＜a≤ 故选：B． 　 二．填空题（共3小题） 8．关于函数y=log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论： ①定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）； ②递增区间为[